2020高考数学刷题首选卷 考点测试68 坐标系与参数方程（理）（含解析）

考点测试68坐标系与参数方程高考概览本考点是高考必考知识点，题型为解答题，分值10分，中等难度考纲研读1．了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程4．了解参数方程，了解参数的意义5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程一、基础小题1．参数方程为x＝3t2＋2，y＝t2－1(0≤t≤5)的曲线为()A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线答案A解析化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，即x－3y－5＝0，由于x＝3t2＋2∈[2，77]，故曲线为线段．故选A．2．直线x＝－2＋tcos30°，y＝3－tsin60°(t为参数)的倾斜角为()A．30°B．60°C．90°D．135°答案D解析将直线参数方程化为普通方程为x＋y－1＝0，其斜率k＝－1，故倾斜角为135°．故选D．3．在极坐标系中，过点22，π4作圆ρ＝4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是()A．ρsinθ＝2B．ρcosθ＝2C．ρsinθ－π3＝2D．ρcosθ－π3＝2答案B解析ρ＝4sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，而点22，π4化为直角坐标是(2，2)，过(2，2)作圆的切线，其方程为x＝2，即ρcosθ＝2．故选B．4．在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．答案ρcosθ＝3解析把ρ＝6cosθ两边同乘ρ，得ρ2＝6ρcosθ，所以圆的普通方程为x2＋y2－6x＝0，即(x－3)2＋y2＝9，圆心为(3，0)，故所求直线的极坐标方程为ρcosθ＝3．5．在极坐标系中，直线ρsinθ＋π4＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为________．答案43解析分别将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程为x＋y－22＝0，x2＋y2＝16，则圆心O到直线x＋y－22＝0的距离d＝|－22|2＝2，半弦长为16－4＝23，所以弦长为43．6．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为x＝t2，y＝22t(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．答案(2，－4)解析曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由x＋y＝－2，y2＝8x得x＝2，y＝－4，所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)．二、高考小题7．(2018·北京高考)在极坐标系中，直线ρcosθ＋ρsinθ＝a(a0)与圆ρ＝2cosθ相切，则a＝________．答案1＋2解析由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，可将直线ρcosθ＋ρsinθ＝a化为x＋y－a＝0，将ρ＝2cosθ，即ρ2＝2ρcosθ化为x2＋y2＝2x，整理成标准方程为(x－1)2＋y2＝1．又∵直线与圆相切，∴圆心(1，0)到直线x＋y－a＝0的距离d＝|1－a|2＝1，解得a＝1±2，∵a0，∴a＝1＋2．8．(2018·天津高考)已知圆x2＋y2－2x＝0的圆心为C，直线x＝－1＋22t，y＝3－22t(t为参数)与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为________．答案12解析由题意可得圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0，则圆心到直线的距离d＝|1＋0－2|2＝22，由弦长公式可得|AB|＝2×1－222＝2，则S△ABC＝12×2×22＝12．9．(2017·北京高考)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，点P的坐标为(1，0)，则|AP|的最小值为________．答案1解析由ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心坐标为C(1，2)，半径长为1．∵点P的坐标为(1，0)，∴点P在圆C外．又∵点A在圆C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1．10．(2017·天津高考)在极坐标系中，直线4ρcosθ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为________．答案2解析由4ρcosθ－π6＋1＝0得23ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，故直线的直角坐标方程为23x＋2y＋1＝0．由ρ＝2sinθ得ρ2＝2ρsinθ，故圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1．圆心为(0，1)，半径为1．∵圆心到直线23x＋2y＋1＝0的距离d＝|2×1＋1|232＋22＝34＜1，∴直线与圆相交，有两个公共点．三、模拟小题11．(2018·北京通州月考)下面直线中，平行于极轴且与圆ρ＝2cosθ相切的是()A．ρcosθ＝1B．ρsinθ＝1C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2答案B解析由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x，所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1，0)，半径为1．与x轴平行且与圆相切的直线方程为y＝1或y＝－1，则极坐标方程为ρsinθ＝1或ρsinθ＝－1，所以选B．12．(2018·合肥调研)已知圆C的参数方程为x＝－1＋cosα，y＝1＋sinα(α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为()A．13B．15C．－13D．－15答案D解析⊙C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C(－1，1)，又直线kx＋y＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0垂直时，圆心C到直线的距离最大，∵kCA＝－5，∴－k＝15，∴k＝－15．选D．一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0．(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4．(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线，曲线C1的方程为y＝kx＋2，x≥0，－kx＋2，x0.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|－k＋2|k2＋1＝2，故k＝－43或k＝0．经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以|k＋2|k2＋1＝2，故k＝0或k＝43．经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝43时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－43|x|＋2．2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．解(1)曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1．当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1．(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0．又由①得t1＋t2＝－42cosα＋sinα1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2．3．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1．当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2．l与⊙O交于两点当且仅当21＋k21，解得k－1或k1，即α∈π4，π2或α∈π2，3π4．综上，α的取值范围是π4，3π4．(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinαt为参数，π4α3π4．设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0．于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα．又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα，所以点P的轨迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2αα为参数，π4α3π4．4．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a．解(1)曲线C的普通方程为x29＋y2＝1．当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0．由x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1，解得x＝3，y＝0或x＝－2125，y＝2425.从而C与l的交点坐标为(3，0)，－2125，2425．(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝|3cosθ＋4sinθ－a－4|17．当a≥－4时，d的最大值为a＋917．由题设得a＋917＝17，所以a＝8；当a＜－4时，d的最大值为－a＋117．由题设得－a＋117＝17，所以a＝－16．综上，a＝8或a＝－16．5．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4．(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2，π3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ10)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cosθ．由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·sinα－π3＝2sin2α－π3－32≤2＋3．当α＝－π12时，S取得最大值2＋3．所以△OAB面积的最大值为2＋3．二、模拟大题6．(2018·河南名校联盟联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(3cosθ＋sinθ)＝5．(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；(2)在圆上找一点A，