2020高考数学刷题首选卷 考点测试63 二项分布及其应用（理）（含解析）

考点测试63二项分布及其应用高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分、12分，中等难度考纲研读1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布3．能解决一些简单的实际问题一、基础小题1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于()A．12B．14C．16D．18答案A解析P(B|A)＝PABPA＝1412＝12．故选A．2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是()A．12125B．16125C．48125D．96125答案C解析P＝C23452151＝48125．故选C．3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0．6，乙被录取的概率为0．7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A．0．12B．0．42C．0．46D．0．88答案D解析因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，由对立事件和相互独立事件概率公式，知所求概率P＝1－(1－0．6)·(1－0．7)＝1－0．12＝0．88．故选D．4．抛掷一枚质地均匀的骰子2次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不相互独立的是()A．第二次得到6点B．第二次的点数不超过3C．第二次的点数是奇数D．两次得到的点数和是12答案D解析事件“第二次得到6点”，“第二次的点数不超过3”，“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，而对于事件“两次得到的点数和是12”，由于第一次得到6点，所以第二次也是6点，故不相互独立．故选D．5．设随机变量X～B6，12，则P(X＝3)＝()A．516B．316C．58D．38答案A解析X～B6，12，由二项分布可得，P(X＝3)＝C36123·1－123＝516．6．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2，则()A．p1＝p2B．p1p2C．p1p2D．以上三种情况都有可能答案B解析由已知条件可得p1＝1－9910010＝1－9801100005，p2＝1－C299C21005＝1－981005＝1－9800100005，∴p1p2，故选B．7．甲射击命中目标的概率是12，乙射击命中目标的概率是13，丙射击命中目标的概率是14．现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为()A．34B．23C．45D．710答案A解析设甲射击命中目标为事件A，乙射击命中目标为事件B，丙射击命中目标为事件C，则击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生．又P(ABC)＝P(A)P(B)·P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－12×1－13×1－14＝14．∴三人同时射击目标，击中目标的概率P＝1－P(ABC)＝34．8．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()A．[0．4，1]B．(0，0．4]C．(0，0．6]D．[0．6，1]答案A解析设事件A在一次试验中发生的概率为p，则C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，解得p≥0．4．故选A．9．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0．8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．答案0．128解析此选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0．2×0．82＝0．128．二、高考小题10．(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0．648B．0．432C．0．36D．0．312答案A解析由条件知该同学通过测试，即3次投篮投中2次或投中3次．故所求概率P＝C230．62(1－0．6)＋C330．63＝0．648．故选A．11．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2．4，P(X＝4)P(X＝6)，则p＝()A．0．7B．0．6C．0．4D．0．3答案B解析∵D(X)＝np(1－p)，∴p＝0．4或p＝0．6．∵P(X＝4)＝C410p4(1－p)6P(X＝6)＝C610p6(1－p)4，∴(1－p)2p2，可知p0．5．故选B．三、模拟小题12．(2018·广西柳州调研)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A＝“至少有一次出现反面”，事件B＝“恰有一次出现正面”，则P(B|A)＝()A．37B．38C．78D．18答案A解析依题意得P(A)＝1－123＝78，P(AB)＝323＝38，因此P(B|A)＝PABPA＝37．故选A．13．(2018·广东汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为()A．34B．23C．57D．512答案D解析根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是23×1－34＋34×1－23＝512．故选D．14．(2018·福建厦门二模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是()A．25B．35C．18125D．54125答案D解析袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次抽到黄球的概率P1＝35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P＝C233521－35＝54125．15．(2018·河北唐山二模)甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是()A．29B．49C．23D．79答案D解析甲不跑第一棒共有A13·A33＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A33＝6种情况；(2)乙不跑第一棒，共有A12·A12·A22＝8种情况．∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79．故选D．16．(2018·江西南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________．答案35解析口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A表示“第一次取得红球”，事件B表示“第二次取得白球”，则P(A)＝26＝13，P(AB)＝26×35＝15，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P(B|A)＝PABPA＝1513＝35．一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2(1－p)18．因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0．1．当p∈(0，0．1)时，f′(p)0；当p∈(0．1，1)时，f′(p)0．所以f(p)的最大值点为p0＝0．1．(2)由(1)知，p＝0．1．①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0．1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y．所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490．②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于E(X)400，故应该对余下的产品作检验．2．(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．解(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD，由事件的独立性与互斥性，得P(E)＝P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＝34×23×34×23＋2×14×23×34×23＋34×13×34×23＝23．所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23．(2)由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6．由事件的独立性与互斥性，得P(X＝0)＝14×13×14×13＝1144，P(X＝1)＝2×34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P(X＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P(X＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P(X＝4)＝2×34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512，P(X＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14．可得随机变量X的分布列为X012346P11445722514411251214所以数学期望E(X)＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236．二、模拟大题3．(2018·山西太原二模)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：Ⅰ．抽奖方案有以下两种：方案a：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．Ⅱ．抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一次；满150元，可根据方案b抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a，b各抽奖一次)．已知顾客A在该商