2020高考数学刷题首选卷 考点测试20 三角函数的图象与性质 理（含解析）

考点测试20三角函数的图象与性质高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、解答题，分值5分、12分，中等难度考纲研读1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性2．理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性，最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性一、基础小题1．函数y＝3cos25x－π6的最小正周期是()A．2π5B．5π2C．2πD．5π答案D解析由T＝2π25＝5π，知该函数的最小正周期为5π．故选D．2．已知f(x)＝sinx＋π2，g(x)＝cosx－π2，则f(x)的图象()A．与g(x)的图象相同B．与g(x)的图象关于y轴对称C．向左平移π2个单位，得到g(x)的图象D．向右平移π2个单位，得到g(x)的图象答案D解析因为g(x)＝cosx－π2＝cosπ2－x＝sinx，所以f(x)向右平移π2个单位，可得到g(x)的图象，故选D．3．函数y＝－2sinx－1，x∈7π6，13π6的值域是()A．[－3，1]B．[－2，1]C．(－3，1]D．(－2，1]答案D解析由y＝sinx在7π6，13π6上，－1≤sinx12，所以函数y＝－2sinx－1，x∈7π6，13π6的值域是(－2，1]．故选D．4．函数y＝cos2x－2sinx的最大值与最小值分别为()A．3，－1B．3，－2C．2，－1D．2，－2答案D解析y＝cos2x－2sinx＝1－sin2x－2sinx＝－sin2x－2sinx＋1，令t＝sinx，则t∈[－1，1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以最大值为2，最小值为－2．故选D．5．若函数f(x)＝sinx＋α－π12为偶函数，则cos2α的值为()A．－12B．12C．－32D．32答案C解析由题意α－π12＝π2＋kπ，k∈Z，所以2α＝7π6＋2kπ，k∈Z，所以cos2α＝cos7π6＝－cosπ6＝－32．故选C．6．函数y＝2sinπ6－2x的单调递增区间为()A．kπ＋π3，kπ＋5π6(k∈Z)B．kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)C．kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z)D．kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)答案A解析∵y＝2sinπ6－2x＝－2sin2x－π6，∴π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)，即kπ＋π3≤x≤kπ＋5π6(k∈Z)，即增区间为kπ＋π3，kπ＋5π6(k∈Z)．故选A．7．函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．答案－12－2，1解析设t＝sinx－cosx，则t＝2sinx－π4，t∈[－2，2]，t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，sinxcosx＝1－t22，∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1．当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－12－2．∴函数的值域为－12－2，1．8．函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为________．答案x－3≤x－π2或0xπ2解析由sin2x0，9－x2≥0得2kπ2x2kπ＋π，k∈Z，－3≤x≤3.∴－3≤x－π2或0xπ2．∴函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为x－3≤x－π2或0xπ2．二、高考小题9．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期为()A．4πB．2πC．πD．π2答案C解析由题意得ω＝2，所以函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期T＝2πω＝π．故选C．10．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4答案B解析根据题意，有f(x)＝32cos2x＋52，所以函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，且最大值为f(x)max＝32＋52＝4．故选B．11．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A．π4B．π2C．πD．2π答案C解析由已知得f(x)＝tanx1＋tan2x＝sinxcosx1＋sinxcosx2＝sinxcosx＝12sin2x，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π．故选C．12．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是()A．π4B．π2C．3π4D．π答案A解析∵f(x)＝cosx－sinx＝2cosx＋π4，∴由2kπ≤x＋π4≤π＋2kπ(k∈Z)得－π4＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ(k∈Z)，又f(x)在[－a，a]上是减函数，因此当k＝0时，[－a，a]⊆－π4，3π4．∴－aa，－a≥－π4，a≤3π4，∴0a≤π4，从而a的最大值为π4，故选A．13．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cosx＋π3，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝π6D．f(x)在π2，π单调递减答案D解析f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；f8π3＝cos8π3＋π3＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；∵f(x＋π)＝cosx＋π＋π3＝－cosx＋π3，∴fπ6＋π＝－cosπ6＋π3＝－cosπ2＝0，故C正确；由于f2π3＝cos2π3＋π3＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在π2，π上不单调，故D错误．14．(2018·江苏高考)定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________．答案7解析在同一平面直角坐标系中作出y＝sin2x与y＝cosx在区间[0，3π]上的图象(如图)．由图象可知，共有7个交点．三、模拟小题15．(2018·江西六校联考)下列函数中，最小正周期是π，且在区间π2，π上是增函数的是()A．y＝sin2xB．y＝sinxC．y＝tanx2D．y＝cos2x答案D解析y＝sin2x在区间π2，π上的单调性是先减后增；y＝sinx的最小正周期是T＝2πω＝2π；y＝tanx2的最小正周期是T＝πω＝2π；y＝cos2x满足条件．故选D．16．(2018·安徽联考)已知函数y＝2cosx的定义域为π3，π，值域为[a，b]，则b－a的值是()A．2B．3C．3＋2D．2－3答案B解析因为函数y＝2cosx的定义域为π3，π，所以函数y＝2cosx的值域为[－2，1]，所以b－a＝1－(－2)＝3，故选B．17．(2018·福建六校联考)若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有fπ3＋x＝f(－x)，则fπ6＝()A．2或0B．0C．－2或0D．－2或2答案D解析由函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有fπ3＋x＝f(－x)，可知函数图象的一条对称轴为直线x＝12×π3＝π6．根据三角函数的性质可知，当x＝π6时，函数取得最大值或最小值．∴fπ6＝2或－2．故选D．18．(2019·河北衡水中学调研)已知函数f(x)＝2msinx－ncosx，直线x＝π3是函数f(x)图象的一条对称轴，则nm＝()A．332B．3C．－233D．33答案C解析若x＝π3是函数f(x)图象的一条对称轴，则x＝π3是函数f(x)的极值点．f′(x)＝2mcosx＋nsinx，故f′π3＝2mcosπ3＋nsinπ3＝m＋32n＝0，所以nm＝－233．故选C．19．(2018·衡阳二模)已知函数f(x)＝x，x0，sinx，x≤0，则下列结论错误的是()A．f(x)不是周期函数B．f(x)在－π2，＋∞上是增函数C．f(x)的值域为[－1，＋∞)D．f(x)的图象上存在不同的两点关于原点对称答案D解析画出f(x)的图象如下：由图可知，A，B，C正确；对于D，当0xπ2时，xsinx，当x≥π2时，－1≤sinx≤1，而x1，所以xsinx，所以当x0时，y＝sinx与y＝x无交点，故f(x)的图象上不存在不同的两点关于原点对称，所以D错误．故选D．20．(2018·南昌一模)已知f(x)＝cos2x＋acosπ2＋x在区间π6，π2上是增函数，则实数a的取值范围为()A．[－2，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(－∞，－4)D．(－∞，－4]答案D解析f(x)＝cos2x＋acosπ2＋x＝1－2sin2x－asinx在π6，π2上是增函数，y＝sinx在π6，π2上单调递增，且sinx∈12，1．令t＝sinx，t∈12，1，则y＝－2t2－at＋1在12，1上单调递增，则－a4≥1，因而a∈(－∞，－4]．故选D．一、高考大题1．(2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，求m的最小值．解(1)f(x)＝12－12cos2x＋32sin2x＝sin2x－π6＋12．所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π．(2)由(1)知f(x)＝sin2x－π6＋12．由题意知－π3≤x≤m．所以－5π6≤2x－π6≤2m－π6．要使f(x)在－π3，m上的最大值为32，即需sin2x－π6在－π3，m上的最大值为1．所以2m－π6≥π2，即m≥π3．所以m的最小值为π3．2．(2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)．(1)求f2π3的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．解(1)由sin2π3＝32，cos2π3＝－12，f2π3＝322－－122－23×32×－12，得f2π3＝2．(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π6．所以f(x)的最小正周期是π．由正弦函数的性质得π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z．所以，f(x)的单调递增区间是π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．3．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝4tanxsinπ2－x·cosx－π3－3．(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性．解(1)f(x)的定义域为xx≠π2＋kπ，k∈Z．f(x)＝4tanxcosxcosx－π3－3＝4sinxcosx－π3－3＝4sinx12cosx＋32sinx－3＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x＋3(1－cos2x)－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3．所以，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π．(2)令z＝2x－π3，易知函数y＝2sinz的单调递增区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z．由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z．设A＝－π4，π4，B＝x－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝－π12，π4．所以，当x∈－π4，π4时，f(x)在区间－π12，π4上单调递增，在区间－π4，－π12上单调递减．二、模拟大题4．(2018·福建福州月考)已知函数f(x)＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求