2020高考数学刷题首选卷 第七章 平面解析几何 考点测试55 曲线与方程 理（含解析）

考点测试55曲线与方程高考概览高考在本考点的考查涉及各种题型，分值为5分，中等难度考纲研读1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法3．能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程一、基础小题1．方程(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0表示的曲线是()A．两条直线B．两条射线C．两条线段D．一条直线和一条射线答案D解析原方程可化为2x＋3y－1＝0，x－3≥0或x－3－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．2．过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12xB．y2＝－12xC．x2＝－12yD．x2＝12y答案D解析由抛物线的定义知，过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0，3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y．故选D．3．点A，B分别为圆M：x2＋(y－3)2＝1与圆N：(x－3)2＋(y－8)2＝4上的动点，点C在直线x＋y＝0上运动，则|AC|＋|BC|的最小值为()A．7B．8C．9D．10答案A解析设M(0，3)关于直线x＋y＝0的对称点为P(－3，0)，且N(3，8)，∴|AC|＋|BC|≥|PN|－1－2＝62＋82－3＝7．故选A．4．已知点F14，0，直线l：x＝－14，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线答案D解析由已知得|MF|＝|MB|．由抛物线定义知点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．故选D．5．与圆x2＋y2＝1及x2＋y2－8x＋12＝0都外切的动圆的圆心在()A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上答案B解析圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为(4，0)，半径为2，动圆的圆心到(4，0)的距离减去到(0，0)的距离等于1，由此可知动圆的圆心在双曲线的一支上．故选B．6．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为________．答案x24＋y23＝1(x≠－2)解析设圆M，圆N与动圆P的半径分别为r1，r2，R，因为圆P与圆M外切且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．7．设F1，F2为椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．答案x2＋y2＝4解析由题意，延长F1D，F2A并交于点B，易证Rt△ABD≌Rt△AF1D，则|F1D|＝|BD|，|F1A|＝|AB|，又O为F1F2的中点，连接OD，则OD∥F2B，从而可知|DO|＝12|F2B|＝12(|AF1|＋|AF2|)＝2，设点D的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4．8．点P(－3，0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆C相内切且过P点，则圆心M的轨迹方程为________．答案x216＋y27＝1解析已知圆为(x－3)2＋y2＝64，其圆心C(3，0)，半径为8，由于动圆M过P点，所以|MP|等于动圆的半径r，即|MP|＝r．又圆M与已知圆C相内切，所以圆心距等于半径之差，即|MC|＝8－r，从而有|MC|＝8－|MP|，即|MC|＋|MP|＝8．根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值86＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆，并且2a＝8，a＝4；2c＝6，c＝3；b2＝16－9＝7，因此M点的轨迹方程为x216＋y27＝1．二、高考小题9．(2015·广东高考)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A．x24－y23＝1B．x29－y216＝1C．x216－y29＝1D．x23－y24＝1答案C解析由已知得ca＝54，c＝5，解得c＝5，a＝4，故b＝3，从而所求的双曲线方程为x216－y29＝1．故选C．10．(2015·安徽高考)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－y24＝1B．x24－y2＝1C．y24－x2＝1D．y2－x24＝1答案C解析由于焦点在y轴上，故排除A，B．由于渐近线方程为y＝±2x，故排除D．故选C．11．(2015·天津高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x的准线上，则双曲线的方程为()A．x221－y228＝1B．x228－y221＝1C．x23－y24＝1D．x24－y23＝1答案D解析由题意知点(2，3)在渐近线y＝bax上，所以ba＝32，又因为抛物线的准线为x＝－7，所以c＝7，故a2＋b2＝7，所以a＝2，b＝3．故双曲线的方程为x24－y23＝1．选D．三、模拟小题12．(2019·福建漳州八校联考)已知圆M：(x＋5)2＋y2＝36，定点N(5，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足NP→＝2NQ→，GQ→·NP→＝0，则点G的轨迹方程是()A．x29＋y24＝1B．x236＋y231＝1C．x29－y24＝1D．x236－y231＝1答案A解析由NP→＝2NQ→，GQ→·NP→＝0知GQ→所在直线是线段NP的垂直平分线，连接GN，∴|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|＝625，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a＝6，2c＝25，∴b2＝4，∴点G的轨迹方程为x29＋y24＝1，故选A．13．(2018·深圳调研)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，AD＝2，E，F分别为边CD，AD的中点，M为AE和BF的交点，则以A，B为长轴端点，且经过M的椭圆的标准方程为()A．x24＋y25＝1B．x24＋y23＝1C．x24＋y22＝1D．x24＋y2＝1答案D解析以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则BF：x＝－4y＋2，AE：y＝x＋2，联立两直线方程可得M－65，45．显然在椭圆x24＋y2＝1上，故选D．14．(2018·长沙统考)设点A(1，0)，B(－1，0)，M为动点，已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值m(m≠0)，若点M的轨迹是焦距为4的双曲线(除去点A，B)，则m＝()A．15B．3C．15D．3答案B解析设动点M(x，y)，则直线AM的斜率kAM＝yx－1，直线BM的斜率kBM＝yx＋1，所以yx－1·yx＋1＝y2x2－1＝m，即x2－y2m＝1．因为点M的轨迹是焦距为4的双曲线(除去点A，B)，所以1＋m＝4，所以m＝3．故选B．15．(2018·江西九江联考)设F(1，0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且MN→＝2MP→，PM→⊥PF→，当点P在y轴上运动时，则点N的轨迹方程为________．答案y2＝4x解析设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，由MN→＝2MP→，得x－x0＝－2x0，y＝2y0，即x0＝－x，y0＝12y，因为PM→⊥PF→，PM→＝(x0，－y0)，PF→＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y20＝0，即－x＋14y2＝0，所以点N的轨迹方程为y2＝4x．16．(2018·中原名校联考)已知双曲线x22－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同于A1，A2的两个不同的动点，则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为________．答案x22＋y2＝1(x≠0，且x≠±2)解析由题设知|x1|2，A1(－2，0)，A2(2，0)，则有：直线A1P的方程为y＝y1x1＋2(x＋2)，①直线A2Q的方程为y＝－y1x1－2(x－2)，②联立①②，解得x＝2x1，y＝2y1x1，得x1＝2x，y1＝2yx，③所以x≠0，且|x|2，因为点P(x1，y1)在双曲线x22－y2＝1上，所以x212－y21＝1．将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为x22＋y2＝1(x≠0，且x≠±2)．一、高考大题1．(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→．(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP→·PQ→＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．解(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，NP→＝(x－x0，y)，NM→＝(0，y0)．由NP→＝2NM→得x0＝x，y0＝22y．因为M(x0，y0)在C上，所以x22＋y22＝1．因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2．(2)证明：由题意知F(－1，0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ→＝(－3，t)，PF→＝(－1－m，－n)，OQ→·PF→＝3＋3m－tn，OP→＝(m，n)，PQ→＝(－3－m，t－n)．由OP→·PQ→＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0．所以OQ→·PF→＝0，即OQ→⊥PF→．又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．2．(2016·全国卷Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．解(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC．所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|．又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4．由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)．(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由y＝kx－1，x24＋y23＝1得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0．则x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3．所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝12k2＋14k2＋3．过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－1k(x－1)，A到m的距离为2k2＋1，所以|PQ|＝242－2k2＋12＝44k2＋3k2＋1．故四边形MPNQ的面积S＝12|MN||PQ|＝121＋14k2＋3．可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，83)．当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12．综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，83)．3．(经典湖北高考)一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3．当栓子D在滑槽AB内做往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公