2020高考数学刷题首选卷 第七章 平面解析几何 考点测试51 圆与方程 理（含解析）

考点测试51圆与方程高考概览高考在本考点中常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中等难度考纲研读1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题4．初步了解用代数方法处理几何问题的思想一、基础小题1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1答案A解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知0－12＋b－22＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1．故选A．2．若点P(1，1)为圆C：(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()A．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝0答案D解析圆心C(3，0)，kPC＝－12，则kMN＝2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0．故选D．3．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切答案B解析圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为O1(1，0)，半径r1＝1；圆O2：x2＋y2－4y＝0的圆心为O2(0，2)，半径r2＝2．由于1|O1O2|＝53，故两圆相交．故选B．4．经过三点A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2)的圆的面积是()A．πB．2πC．3πD．4π答案D解析如图，根据A，B，C三点的坐标可以得出AC＝BC＝22，AB＝4，所以AC⊥BC，所以AB为过A，B，C三点的圆的直径，且该圆的圆心坐标为(1，0)，圆的半径为2，所以圆的面积为S＝πR2＝π×22＝4π．故选D．5．对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．以上三个选项均有可能答案C解析直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，又02＋(－1)2－2×0－2＝－10，得点A在圆内，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交，故选C．6．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0a1，则原点与该圆的位置关系是()A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定答案B解析将圆的方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0a1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)20，所以原点在圆外．故选B．7．若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为23，则a的值为()A．2B．±2C．1D．±1答案B解析设圆x2＋y2＝a2的圆心为O，半径r＝|a|，将x2＋y2＝a2与x2＋y2＋ay－6＝0联立，可得a2＋ay－6＝0，即公共弦所在的直线方程为a2＋ay－6＝0，原点O到直线a2＋ay－6＝0的距离为6a－a，根据勾股定理可得a2＝3＋6a－a2，解得a＝±2．故选B．8．过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是________．答案x＋y－3＝0解析由题意知，当∠ACB最小时，圆心C(3，4)到直线l的距离达到最大，此时直线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为4－23－1＝1，所以直线l的斜率为－11＝－1，因此所求的直线l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6]B．[4，8]C．[2，32]D．[22，32]答案A解析∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴A(－2，0)，B(0，－2)，则|AB|＝22．∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，圆心为(2，0)，∴圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d1＝|2＋0＋2|2＝22，故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[2，32]，则S△ABP＝12|AB|d2＝2d2∈[2，6]，故选A．10．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为()A．1B．2C．3D．4答案C解析∵cos2θ＋sin2θ＝1，∴P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x－my－2＝0表示过点(2，0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(－1，0)到直线x＝2的距离即为d的最大值．故选C．11．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________．答案22解析根据题意，圆的方程可化为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆的圆心为(0，－1)，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得圆心到直线的距离d＝|0＋1＋1|12＋－12＝2，所以|AB|＝24－2＝22．12．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上的第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若AB→·CD→＝0，则点A的横坐标为________．答案3解析解法一：设A(a，2a)，a0，则Ca＋52，a，∴圆C的方程为x－a＋522＋(y－a)2＝a－524＋a2，由x－a＋522＋y－a2＝a－524＋a2，y＝2x，得xD＝1，yD＝2，∴AB→·CD→＝(5－a，－2a)·－a－32，2－a＝a2－2a－152＋2a2－4a＝0，∴a＝3或a＝－1，又a0，∴a＝3，∴点A的横坐标为3．解法二：由题意易得∠BAD＝45°．设直线DB的倾斜角为θ，则tanθ＝－12，∴tan∠ABO＝－tan(θ－45°)＝3，∴kAB＝－tan∠ABO＝－3．∴AB的方程为y＝－3(x－5)，由y＝－3x－5，y＝2x，得xA＝3．13．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________．答案4解析由题意可知直线l过定点(－3，3)，该定点在圆x2＋y2＝12上，不妨设点A(－3，3)，由于|AB|＝23，r＝23，所以圆心到直线AB的距离为d＝232－32＝3，又由点到直线的距离公式可得d＝|3m－3|m2＋1＝3，解得m＝－33，所以直线l的斜率k＝－m＝33，即直线l的倾斜角为30°．如图，过点C作CH⊥BD，垂足为H，所以|CH|＝23，在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝23cos30°＝4．14．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若PA→·PB→≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．答案[－52，1]解析解法一：因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，所以设P点坐标为(x，±50－x2)(－52≤x≤52)．因为A(－12，0)，B(0，6)，所以PA→＝(－12－x，－50－x2)或PA→＝(－12－x，50－x2)，PB→＝(－x，6－50－x2)或PB→＝(－x，6＋50－x2)．因为PA→·PB→≤20，先取P(x，50－x2)进行计算，所以(－12－x)(－x)＋(－50－x2)(6－50－x2)≤20，即2x＋5≤50－x2．当2x＋5≤0，即x≤－52时，上式恒成立；当2x＋50，即x－52时，(2x＋5)2≤50－x2，解得－5≤x≤1，故x≤1．同理可得P(x，－50－x2)时，x≤－5．又－52≤x≤52，所以－52≤x≤1．故点P的横坐标的取值范围为[－52，1]．解法二：设P(x，y)，则PA→＝(－12－x，－y)，PB→＝(－x，6－y)．∵PA→·PB→≤20，∴(－12－x)(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，即2x－y＋5≤0．如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，∴点P在EDF上．由x2＋y2＝50，2x－y＋5＝0得F点的横坐标为1．又D点的横坐标为－52，∴P点的横坐标的取值范围为[－52，1]．三、模拟小题15．(2018·合肥质检)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0答案B解析当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，弦长为23，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为23，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k＋2|k2＋1＝1，解得k＝－34，综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，故选B．16．(2018·湖南长沙模拟)已知⊙O：x2＋y2＝1，A(0，－2)，B(a，2)，从点A观察点B，要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．－∞，－433∪433，＋∞C．－∞，－233∪233，＋∞D．－433，433答案B解析点B在直线y＝2上，过点A(0，－2)作圆的切线，设切线的斜率为k，由点斜式得切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0，由圆心到切线的距离等于半径，得|－2|k2＋1＝1，解得k＝±3，∴切线方程为y＝±3x－2，和直线y＝2的交点坐标为－433，2，433，2，∴要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是－∞，－433∪433，＋∞．故选B．17．(2018·广东茂名模拟)若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为22，则直线l的斜率的取值范围是()A．[2－3，1]B．[2－3，2＋3]C．33，3D．[0，＋∞)答案B解析圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，则圆心坐标为(2，2)，半径为32．由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为22可得，圆心到直线l：ax＋by＝0的距离d≤32－22＝2，即|2a＋2b|a2＋b2≤2，则a2＋b2＋4ab≤0①，若a＝0，则b＝0，不符合题意，故a≠0且b≠0，则①可化为1＋ba2＋4ba≤0，由于直线l的斜率k＝－ab，所以1＋ba2＋4ba≤0可化为1＋1k2－4k≤0，解得k∈[2－3，2＋3]，故选B．18．(2018·天津河西一模)若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．答案8解析圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，∴|C1C2|＝5．又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8．19．(2018·湖北八市联考)已知a∈R，直线l1：x＋2y＝a＋2和直线l2：2x－y＝2a－1分别与圆E：(x－a)2＋(y－1)2＝9相交于点A，C和点B，D，则四边形ABCD的面积是________．答案18解析依题意，圆E的圆心坐标为E(a，1)，发现E∈l1，E∈l2，即直线l1，l2都过圆心，故|AC|＝|BD|＝6．又k1·k2＝－1，即l1⊥l2．故所求面积为12×62＝18．20．(2018·衡阳二模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1：x2＋y2＝9，圆O2