2020高考数学刷题首选卷 第六章 立体几何 考点测试44 直线、平面垂直的判定及其性质 文（含解析

考点测试44直线、平面垂直的判定及其性质高考概览本考点是高考必考知识点，各种题型都有考查，分值为5分或10分，中等难度考纲研读1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题一、基础小题1．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是()A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内无数条直线垂直C．l与平面α内的某一条直线垂直D．l与平面α内任意一条直线垂直答案D解析由直线与平面垂直的定义，可知D正确．2．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当l⊥α时，l⊥m且l⊥n．但当l⊥m，l⊥n时，若m，n不是相交直线，则得不到l⊥α．即l⊥α是l⊥m且l⊥n的充分不必要条件．故选A．3．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案B解析由直线与平面垂直的性质，可知①正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故②错误；由直线与平面垂直的定义知④正确，而③错误．4．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、异面直线都有可能答案D解析当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．5．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案D解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项易知均是正确的．6．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案A解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1．又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC．∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．7．如图所示，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案C解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，而BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE．因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC在平面ADC内，所以平面ADC⊥平面BDE．故选C．8．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF，PA＝2AB，则下列结论正确的是()A．PA⊥ADB．平面ABCDEF⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABCDEF所成的角为30°答案A解析因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥AD，故选项A正确；选项B中两个平面不垂直，故选项B错；选项C中，AD与平面PAE相交，BC∥AD，故选项C错；选项D中，PD与平面ABCDEF所成的角为45°，故选项D错．故选A．二、高考小题9．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC答案C解析如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错误；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1．又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错误．故选C．10．(2015·福建高考)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选B．三、模拟小题11．(2018·大连双基测试)已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，γ，给出下列四个命题，错误的命题是()A．若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥bB．若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥bC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥αD．若α∥β，a∥α，则a∥β答案D解析构造一个长方体ABCD－A1B1C1D1．对于D，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，A1B1∥平面ABCD⇒/A1B1∥平面A1B1C1D1．12．(2018·河南安阳二模)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是()A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥bB．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βC．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥βD．若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β答案C解析对于A，若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，故a∥b，A正确；对于B，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，∴存在直线m⊂α，使得m∥b，又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β，故B正确；对于C，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，又α∥β，∴b⊂β或b∥β，故C错误；对于D，若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确，故选C．13．(2018·安徽亳州模拟)如图甲所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，如图乙所示，那么，在四面体A－EFH中必有()A．AH⊥平面EFHB．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEF答案A解析∵AH⊥HE，AH⊥HF，且EH∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，A正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴B不正确；∵AG⊥EF，EF⊥AH，AG∩AH＝A，∴EF⊥平面HAG，∵EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，∴过H作平面AEF的垂线，一定在平面HAG内，∴C不正确；∵HG不垂直于AG，∴HG⊥平面AEF不正确，∴D不正确，故选A．14．(2018·福建泉州二模)在下列四个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是()答案D解析如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A，B，C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意．故选D．15．(2018·南昌模拟)如果PA，PB，PC两两垂直，那么点P在平面ABC内的投影一定是△ABC的()A．重心B．内心C．外心D．垂心答案D解析如图，O是点P在平面ABC内的投影，连接OA，OB，OC，∵PA，PB，PC两两垂直，∴PA⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC，而PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PO⊥BC，又PA∩PO＝P，∴BC⊥平面PAO．又AO⊂平面PAO，∴BC⊥AO．同理可知AC⊥BO，AB⊥CO．∴O为△ABC的垂心．故选D．16．(2018·南昌摸底)如图，四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是()A．PB⊥ACB．PD⊥平面ABCDC．AC⊥DPD．平面PBD⊥平面ABCD答案B解析取BP中点O，连接OA，OC，易得BP⊥OA，BP⊥OC⇒BP⊥面OAC⇒BP⊥AC⇒选项A正确；又AC⊥BD⇒AC⊥面BDP⇒AC⊥PD，平面PBD⊥平面ABCD，所以选项C，D也正确．故选B．17．(2018·山西临汾模拟)如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为MC的中点，则下列结论不正确的是()A．平面BCE⊥平面ABNB．MC⊥ANC．平面CMN⊥平面AMND．平面BDE∥平面AMN答案C解析分别过A，C作平面ABCD的垂线AP，CQ，使得AP＝CQ＝1，连接PM，PN，QM，QN，将几何体补成棱长为1的正方体．∴BC⊥平面ABN，又BC⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面ABN，故A正确；连接PB，则PB∥MC，显然，PB⊥AN，∴MC⊥AN，故B正确；取MN的中点F，连接AF，CF，AC．∵△AMN和△CMN都是边长为2的等边三角形，∴AF⊥MN，CF⊥MN，∴∠AFC为二面角A－MN－C的平面角，∵AF＝CF＝62，AC＝2，∵AF2＋CF2≠AC2，即∠AFC≠π2，∴平面CMN与平面AMN不垂直，故C错误；∵DE∥AN，MN∥BD，DE∩BD＝D，DE，BD⊂平面BDE，MN∩AN＝N，MN，AN⊂平面AMN，∴平面BDE∥平面AMN，故D正确，故选C．18．(2018·西安六校联考)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是棱PC，PD的中点，则①棱AB与PD所在的直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△PAB的面积；④直线AE与直线BF是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)答案①③解析由条件可得AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，故①正确；∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAB，平面PAD都与平面ABCD垂直．故平面PBC不可能与平面ABCD垂直，故②错误；∵S△PCD＝12CD·PD，S△PAB＝12AB·PA，由AB＝CD，PDPA，可知③正确；由E，F分别是棱PC，PD的中点可得EF∥CD，又AB∥CD，∴EF∥AB，故AE与BF共面，故④错误．一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．解(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝23．连接OB，因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2．由OP2＋OB2＝PB2知OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC，AC∩OB＝O，知PO⊥平面ABC．(2)作CH⊥OM，垂足为H．又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝423，∠ACB＝45°．所以OM＝253，CH＝OC·MC·sin∠ACBOM＝455．所以点C到平面POM的距离为455．2．(2018·天津高考)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝23，∠BAD＝90°．(1)求证：AD⊥BC；(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．解(1)证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．(2)取棱