（江苏专用）2020年高考数学一轮复习 考点08 指数与指数函数必刷题（含解析）

考点08指数与指数函数1、不等式(13)x2－83－2x的解集是________．【答案】{x|－2x4}【解析】原不等式为(13)x2－8(13)2x，∴x2－82x，解之得－2x4.2、设a＝40.9，b＝80.48，c＝(12)－1.5，则a、b、c从大到小排列的顺序为________．【答案】acb【解析】∵a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝(12)－1.5＝21.5，∴21.821.521.44，即acb.3、已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于________．【答案】7【解析】由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，∴(2a＋2－a)2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9.所以22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝22a＋2－2a＝7.4、若a1，b0，且ab＋a－b＝22，则ab－a－b的值等于________．【答案】－2【解析】∵a1，b0，∴0ab1，a－b1.又∵(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8，∴a2b＋a－2b＝6，∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝－2.5、若f(x)＝a－x与g(x)＝ax－a(a0且a≠1)的图象关于直线x＝1对称，则a＝________.【答案】2【解析】函数f(x)＝a－x上任意一点(x0，y0)关于直线x＝1对称的点为(2－x0，y0)，即有g(2－x0)＝a2－x0－a＝f(x0)＝a－x0，故a＝2.6、若直线ax－by＋2＝0(a0，b0)和函数f(x)＝ax＋1＋1(a0且a≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a＋1b取最小值时，函数f(x)的解析式是________．【答案】(22－2)x＋1＋1【解析】函数f(x)＝ax＋1＋1(a0且a≠1)的图象恒过点(－1,2)，故12a＋b＝1，1a＋1b＝(12a＋b)(1a＋1b)＝32＋ba＋a2b≥32＋2，当且仅当b＝22a时等号成立，将b＝22a代入12a＋b＝1，得a＝22－2，故f(x)＝(22－2)x＋1＋1.7、给出下列结论：①当a0时，＝a3；②nan＝|a|(n1，n∈N*，n为偶数)；③函数f(x)＝(x－2)12－(3x－7)0的定义域是{x|x≥2且x≠73}；④若2x＝16,3y＝127，则x＋y＝7.其中正确结论的序号有________．【答案】②③【解析】∵a0时，0，a30，∴①错；②显然正确；解x－2≥03x－7≠0，得x≥2且x≠73，∴③正确；∵2x＝16，∴x＝4，∵3y＝127＝3－3，∴y＝－3，∴x＋y＝4＋(－3)＝1，∴④错．故②③正确．8、若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围为____．【答案】[－1，1]【解析】分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围.曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：若|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．9、若函数y＝a2x＋2ax－1(a0且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，求实数a的值．【答案】3或13.【解析】设t＝ax，则y＝f(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.①当a1时，t∈[a－1，a]，所以ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)；②当0a1时，t∈[a，a－1]，所以ymax＝(a－1)2＋2a－1－1＝14，解得a＝13或a＝－15(舍去)．故所求a的值为3或13.10、函数f(x)＝2－xx－1的定义域为集合A，关于x的不等式22ax2a＋x(a∈R)的解集为B，求使A∩B＝A的实数a的取值范围．【答案】(－∞，23)【解析】由2－xx－1≥0，得1x≤2,即A＝{x|1x≤2}．∵y＝2x是R上的增函数，∴由22ax2a＋x，得2axa＋x，∴(2a－1)xa.(1)当2a－10，即a12时，xa2a－1.又A⊆B，∴a2a－12，得12a23.(2)当2a－1＝0，即a＝12时，x∈R，满足A∩B＝A.(3)当2a－10，则a12时，xa2a－1.∵A⊆B，∴a2a－1≤1，得a12或a≥1，故a12.由(1)，(2)，(3)得a∈(－∞，23)．11、已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]．(1)求a的值；(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．【答案】(1)log32(2)λ≤2【解析】(1)由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，设0≤x1x2≤1，因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，所以g(x1)－g(x2)＝(2x1－2x2)(λ－2x2－2x1)0恒成立，即λ2x2＋2x1恒成立．由于2x2＋2x120＋20＝2，所以实数λ的取值范围是λ≤2.12、已知函数f(x)＝12x－1＋12x3.(1)求f(x)的定义域；(2)证明：f(－x)＝f(x)；(3)证明：f(x)0.【答案】(1)(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)见解析(3)见解析【解析】(1)由2x－1≠0得x≠0，所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f(x)＝12x－1＋12x3可化为f(x)＝2x＋12（2x－1）·x3，则f(－x)＝2－x＋12（2－x－1）(－x)3＝2x＋12（2x－1）x3＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．(3)当x0时，2x1，x30，所以f(x)＝(12x－1＋12)x30.因为f(－x)＝f(x)，所以当x0时，f(x)＝f(－x)0.综上所述，f(x)0.13、已知函数y＝13|x＋1|.(1)作出函数的图象(简图)；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时函数y＝13|x＋1|有最值，并求出最值．【答案】(1)见图(2)单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞)(3)(－∞，－1]【解析】(1)方法一：由函数解析式可得y＝13|x＋1|＝13x＋1，x≥－1，3x＋1，x－1.其图象由两部分组成：一部分是：y＝13x(x≥0)――→向左平移1个单位长度y＝13x＋1(x≥－1)；另一部分是：y＝3x(x0)――→向左平移1个单位长度y＝3x＋1(x－1)．如图所示．方法二：①由y＝13|x|可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y＝13x的图象，保留x≥0的部分，当x0时，其图象是将y＝13x(x≥0)图象关于y轴对折，从而得出y＝13|x|的图象．②将y＝13|x|的图象向左平移1个单位长度，即可得y＝13|x＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数的单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞)．(3)由图象知当x＝－1时，有最大值1，无最小值．14、已知函数f(x)＝aa2－1(ax－a－x)(a0且a≠1)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)若当x∈[－1，1]时，f(x)≥b恒成立，求实数b的取值范围．【答案】(1)奇函数(2)单调递增(3)(－∞，－1]【解析】(1)因为函数定义域为R，关于原点对称，又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－ax)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(2)当a1时，a2－10，因为y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，所以函数f(x)为增函数．当0a1时，a2－10，因为y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，所以函数f(x)为增函数．故当a0，且a≠1时，函数f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间[－1，1]上为增函数，所以f(－1)≤f(x)≤f(1)，所以f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1·1－a2a＝－1，所以要使f(x)≥b在[－1，1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是(－∞，－1]．15、已知函数f(x)＝(13)x，x∈[－1,1]，函数g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值为h(a)．(1)求h(a)；(2)是否存在实数m、n同时满足下列条件：①mn3；②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)h(a)＝289－2a3a13，3－a213≤a，12－6aa(2)不存在【解析】(1)∵x∈[－1,1]，∴(13)x∈[13，3]．设t＝(13)x，t∈[13，3]，则φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.当a13时，ymin＝h(a)＝φ(13)＝289－2a3；当13≤a≤3时，ymin＝h(a)＝φ(a)＝3－a2；当a3时，ymin＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.∴h(a)＝＝289－2a3a13，3－a213≤a，12－6aa(2)假设满足题意的m、n存在，∵mn3，∴h(a)＝12－6a在(3，＋∞)上是减函数．∵h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，∴12－6m＝n2，①12－6n＝m2，②②－①得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，∵mn3，∴m＋n＝6，但这与“mn3”矛盾，∴满足题意的m、n不存在．