（江苏专用）2020年高考数学一轮复习 考点07 二次函数与幂函数必刷题（含解析）

考点07二次函数与幂函数1、如果方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m的取值范围是____．【答案】(－∞，－3)【解析】设f(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，由题意得，Δ＝（2m－1）2－4（4－2m）0，f（2）＝4＋2（2m－1）＋4－2m0，解得m－52或m32，m－3，所以m－3，故实数m的取值范围是(－∞，－3)．2、若幂函数y＝mxn(m，n∈R)的图象经过点8，14，则n＝___．【答案】－23【解析】由题意可得m＝1，8n＝14，解得n＝－23，故n的值为－23.3、已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a，b的值为____．【答案】13，0【解析】由题意得，f(－x)＝f(x)，即ax2－bx＋3a＋b＝ax2＋bx＋3a＋b，即2bx＝0对任意x恒成立，所以b＝0.又因为a－1＝－2a，解得a＝13，所以a，b的值分别为13，0.4、函数y＝－x2＋2||x＋3的单调减区间是____．【答案】[－1，0]和[1，＋∞)【解析】令f(x)＝－x2＋2|x|＋3，所以f(x)＝－x2＋2x＋3，x≥0，－x2－2x＋3，x0，即f(x)＝－（x－1）2＋4，x≥0，－（x＋1）2＋4，x0，所以当x≥0时，函数f(x)的减区间为(1，＋∞)；当x0时，函数f(x)的减区间为(－1，0)，故单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞)．5、若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[]a，a＋2上的最大值为4，则a的值为____．【答案】－1或1【解析】由题意得，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴为直线x＝1.当a≥0时，f(a＋2)＝4，即(a＋2)2－2(a＋2)＋1＝4，解得a＝1或a＝－3(舍去)；当a0时，f(a)＝4，即a2－2a＋1＝4，解得a＝－1或a＝3(舍去)．综上，a的值为1或－1.6、若不等式x4＋2x2＋a2－a－2≥0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是___.【答案】(－∞，－1]∪[2，＋∞)【解析】由题意得x4＋2x2＋a2－a－2≥0，即(x2＋1)2≥－a2＋a＋3，所以－a2＋a＋3≤1，解得a≥2或a≤－1，所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．7、设α∈－1，12，1，2，3，则使函数y＝xα为奇函数且定义域为R的所有α的值为____．【答案】1，3【解析】当α＝－1时，y＝x－1＝1x，此时函数的定义域为{x|x≠0}，不符合题意；当α＝12时，y＝x12＝x，此时函数的定义域为[0，＋∞)，不符合题意；当α＝1时，y＝x，此时函数的定义域为R，且是奇函数，符合题意；当α＝2时，y＝x2，此时函数的定义域为R，是偶函数，不符合题意；当α＝3时，y＝x3，此时函数的定义域为R，且为奇函数，符合题意，综上α的值为1和3.8、求函数f(x)＝x2－2ax＋2(x∈[2，4])的最小值．【答案】f(x)min＝6－4a，a2，2－a2，2≤a≤4，18－8a，a4.【解析】f(x)图象的对称轴是直线x＝a，可分以下三种情况：①当a＜2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min＝f(2)＝6－4a；②当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2；③当a＞4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min＝f(4)＝18－8a.综上所述，f(x)min＝6－4a，a2，2－a2，2≤a≤4，18－8a，a4.9、已知函数f(x)＝x2－2x＋2(x∈[t，t＋1])的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．【答案】g(t)＝t2＋1，t0，1，0≤t≤1，t2－2t＋2，t1.【解析】由题意得，f(x)＝(x－1)2＋1.①当t＋11，即t0时，g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1;②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g(t)＝f(1)＝1;③当t1时，g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.综上所述，g(t)＝t2＋1，t0，1，0≤t≤1，t2－2t＋2，t1.10、若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点－2，14在幂函数g(x)的图象上，定义h(x)＝f（x），f（x）≤g（x），g（x），f（x）g（x）.试求函数h(x)的最大值以及单调区间．【答案】1单调增区间为(－∞，－1)和(0，1)；单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞).【解析】求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的图象同例1，如例1图所示，则有h(x)＝x－2，x－1或x1，x2，－1≤x≤1且x≠0.根据图象可知函数h(x)的最大值为1，单调增区间为(－∞，－1)和(0，1)；单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞).11、已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点2，14.(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)求当x为何值时：①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)．【答案】(1)g(x)＝x－2(2)①当x1或x－1时，f(x)g(x)；②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1x1且x≠0时，f(x)g(x)．【解析】(1)设f(x)＝xα，因为图象过点(2，2)，故2＝(2)α，解得α＝2，所以f(x)＝x2.设g(x)＝xβ，因为图象过点2，14，所以14＝2β，解得β＝－2，所以g(x)＝x－2.(2)在同一平面直角坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图象，如图所示.由图象可知，函数f(x)，g(x)的图象均过点(－1，1)和(1，1)，所以①当x1或x－1时，f(x)g(x)；②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1x1且x≠0时，f(x)g(x)．12、已知函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m3(3－2a)－m3的a的取值范围．【答案】{a|a－1或23a32}【解析】因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－30，解得－1m3.因为m∈N*，所以m＝1或m＝2.又函数的图象关于y轴对称，所以m2－2m－3是偶数，当m＝2时，22－2×2－3＝－3为奇数，当m＝1时，12－2×1－3＝－4为偶数，所以m＝1.又y＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，所以(a＋1)－13(3－2a)－13等价于a＋13－2a0或0a＋13－2a或a＋103－2a，解得a－1或23a32.故a的取值范围为{a|a－1或23a32}．13、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图象过点(0，－3)，且f(x)0的解集为(1，3)．(1)若函数f(x)＝f(x)－mx在区间(0，1)上单调递增，求实数m的取值范围；(2)求函数G(x)＝f(sinx)在x∈0，π2上的最值．【答案】(1)(－∞，2](2)最大值为0，最小值为－3【解析】(1)因为f(x)0的解集为(1，3)，所以二次函数与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，所以可设f(x)＝a(x－1)(x－3)．又因为函数图象过点(0，－3)，代入f(x)得3a＝－3，解得a＝－1，所以f(x)＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3，所以f(x)＝－x2＋4x－3－mx＝－x2＋(4－m)x－3.因为函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，所以－4－m2×（－1）≥1，解得m≤2，故实数m的取值范围是(－∞，2]．(2)由题意得，G(x)＝－sin2x＋4sinx－3＝－(sinx－2)2＋1.因为x∈0，π2，所以sinx∈[0，1]，所以当sinx＝0时，G(x)min＝－3；当sinx＝1时，G(x)max＝0，故函数G(x)的最大值为0，最小值为－3.14、已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)f(a－1)的实数a的取值范围．【答案】(1)[0，＋∞)增函数(2)1，32【解析】(1)因为m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，且m与m＋1中必有一个为偶数，所以m(m＋1)为偶数．所以函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)因为函数f(x)经过点(2，2)，所以2＝2(m2＋m)－1，即212＝2(m2＋m)－1，所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.又因为m∈N*，所以m＝1.由f(2－a)f(a－1)得2－a≥0，a－1≥0，2－aa－1，解得1≤a32，所以a的取值范围为1，32.15、已知a∈R，函数f(x)＝x|x－a|.(1)当a＝2时，写出函数y＝f(x)的单调增区间；(2)当a2时，求函数y＝f(x)在区间[1，2]上的最小值；(3)设a≠0，函数y＝f(x)在区间(m，n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围(用a表示)．【答案】(1)(－∞，1]，[2，＋∞)(2)f(x)min＝2a－4，2a≤3，a－1，a3.(3)2＋12a≤ma，a2n≤0.【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝x|x－2|＝x（x－2），x≥2，x（2－x），x2.由图象可知，y＝f(x)的单调增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)．(2)因为a2，x∈[1，2]，所以f(x)＝x(a－x)＝－x2＋ax＝－x－a22＋a24.当1a2≤32，即2a≤3时，f(x)min＝f(2)＝2a－4；当a232，即a3时，f(x)min＝f(1)＝a－1，所以f(x)min＝2a－4，2a≤3，a－1，a3.(3)f(x)＝x（x－a），x≥a，x（a－x），xa.①当a0时，图象如图1所示.由y＝a24，y＝x（x－a），得x＝1＋22a，所以0≤ma2，an≤2＋12a.②当a0时，图象如图2所示．由y＝－a24，y＝x（a－x），得x＝1＋22a，所以2＋12a≤ma，a2n≤0.图1图216、已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)满足f(2)f(3)．(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．【答案】(1)f(x)＝x2(2)2【解析】(1)∵f(2)f(3)，∴f(x)在第一象限是增函数．故－k2＋k＋20，解得－1k2.又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.当k＝0或k＝1时，－k2＋k＋2＝2，∴f(x)＝x2.(2)假设存在q满足题设，由(1)知g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点(2q－12q，4q2＋14q)处取得．①当q0时，而4q2＋14q－g(－1)＝4q2＋14q－(2－3q)＝q－24q≥0，∴g(x)max＝4q2＋14q＝178，g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.解得q＝2.②当q0时，g(x)max＝g(－1)＝2－3q＝178，g(x)min＝4q2＋14q＝－4，q不存在．综上所述，存在q＝2满足题意．17、设函数f(x)＝x2＋2bx＋c(cb1)，f(1)＝0，方程f(x)＋1＝0有实根．(1)证明：－3c≤－1且b≥0；(2)若