（江苏专用）2020高考数学二轮复习 综合仿真练（五）

综合仿真练(五)1．如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.2．(2019·海安中学模拟)已知△ABC内接于单位圆，且(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，(1)求角C；(2)求△ABC面积的最大值．解：(1)∵(1＋tanA)(1＋tanB)＝2∴tanA＋tanB＝1－tanA·tanB，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanAtanB＝－1，∴C＝3π4.(2)∵△ABC的外接圆为单位圆，∴其半径R＝1由正弦定理可得c＝2RsinC＝2，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，代入数据可得2＝a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab＝(2＋2)ab，∴ab≤22＋2，∴△ABC的面积S＝12absinC≤12＋2·22＝2－12，∴△ABC面积的最大值为2－12.3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24＋y23＝1的左顶点为A，右焦点为F，P，Q为椭圆C上两点，圆O：x2＋y2＝r2(r0)．(1)若PF⊥x轴，且满足直线AP与圆O相切，求圆O的方程；(2)若圆O的半径为3，点P，Q满足kOP·kOQ＝－34，求直线PQ被圆O截得的弦长的最大值.解：(1)因为椭圆C的方程为x24＋y23＝1，所以A(－2,0)，F(1,0)．因为PF⊥x轴，所以P1，±32，根据对称性，可取P1，32，则直线AP的方程为y＝12(x＋2)，即x－2y＋2＝0.由圆O与直线AP相切，得r＝25，所以圆O的方程为x2＋y2＝45.(2)易知圆O的方程为x2＋y2＝3.①当PQ⊥x轴时，kOP·kOQ＝－k2OP＝－34，所以kOP＝±32，xP＝±2，此时得直线PQ被圆O截得的弦长为2.②当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x2≠0)，首先由kOP·kOQ＝－34，得3x1x2＋4y1y2＝0，即3x1x2＋4(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，所以(3＋4k2)x1x2＋4kb(x1＋x2)＋4b2＝0.(*)联立y＝kx＋b，x24＋y23＝1消去y，得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，则x1＋x2＝－8kb3＋4k2，x1x2＝4b2－123＋4k2，将其代入(*)式，化简得2b2＝4k2＋3.由于圆心O到直线PQ的距离d＝|b|k2＋1，所以直线PQ被圆O截得的弦长l＝23－d2＝4＋2k2＋1，故当k＝0时，l有最大值为6.综上，因为62，所以直线PQ被圆O截得的弦长的最大值为6.4．(2019·如皋中学模拟)如图，长方形材料ABCD中，已知AB＝23，AD＝4.点P为材料ABCD内部一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE＝1，PF＝3，现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足∠MPN＝150°，点M，N分别在边AB，AD上．(1)设∠FPN＝θ，试将四边形材料AMPN的面积S表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；(2)试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值．解：(1)在直角△NFP中，因为PF＝3，∠FPN＝θ，所以NF＝3tanθ，所以S△APN＝12NA·PF＝12(1＋3tanθ)×3.在直角△MEP中，因为PE＝1，∠EPM＝π3－θ，所以ME＝tanπ3－θS△APM＝12MA·PE＝123＋tanπ3－θ×1.所以S＝S△APN＋S△APM＝32tanθ＋12tanπ3－θ＋3，θ∈0，π3，(2)因为S＝32tanθ＋12tanπ3－θ＋3＝32tanθ＋3－tanθ21＋3tanθ＋3＝1＋3tanθ，由θ∈0，π3，得t∈[1,4]，所以S＝3＋3t2－4t＋423t＝32t＋43t＋33≥32×2×t×43t＋33＝2＋33.当且仅当t＝233时，即tanθ＝2－33时等号成立．此时，AN＝233，Smin＝2＋33.答：当AN＝233时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为2＋33.5．设fk(n)为关于n的k(k∈N)次多项式．数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn.对于任意的正整数n，an＋Sn＝fk(n)恒成立．(1)若k＝0，求证：数列{an}是等比数列；(2)试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．解：(1)证明：若k＝0，则fk(n)即f0(n)为常数，不妨设f0(n)＝c(c为常数)．因为an＋Sn＝fk(n)恒成立，所以a1＋S1＝c，即c＝2a1＝2.所以an＋Sn＝2，①当n≥2时，an－1＋Sn－1＝2，②①－②得2an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．若an＝0，则an－1＝0，…，a1＝0，与已知矛盾，所以an≠0(n∈N*)．故数列{an}是首项为1，公比为12的等比数列.(2)(ⅰ)若k＝0，由(1)知，不符题意，舍去.(ⅱ)若k＝1，设f1(n)＝bn＋c(b≠0，b，c为常数)，所以an＋Sn＝bn＋c，③当n≥2时，an－1＋Sn－1＝b(n－1)＋c，④③－④得2an－an－1＝b(n≥2，n∈N*)．要使数列{an}是公差为d(d为常数)的等差数列，必须有an＝b－d(常数)，而a1＝1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an＝1(n∈N*)，故当k＝1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an＝1(n∈N*)，此时f1(n)＝n＋1.(ⅲ)若k＝2，设f2(n)＝an2＋bn＋c(a≠0，a，b，c是常数)，所以an＋Sn＝an2＋bn＋c，⑤当n≥2时，an－1＋Sn－1＝a(n－1)2＋b(n－1)＋c，⑥⑤－⑥得2an－an－1＝2an＋b－a(n≥2，n∈N*)．要使数列{an}是公差为d(d为常数)的等差数列，必须有an＝2an＋b－a－d，且d＝2a，考虑到a1＝1，所以an＝1＋(n－1)·2a＝2an－2a＋1(n∈N*)．故当k＝2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an＝2an－2a＋1(n∈N*)，此时f2(n)＝an2＋(a＋1)n＋1－2a(a为非零常数).(ⅳ)当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，则an＋Sn的表达式中n的最高次数为2，故k≥3时，数列{an}不能成等差数列．综上得，当且仅当k＝1或2时，数列{an}能成等差数列．6．已知λ∈R，函数f(x)＝ex－ex－λ(xlnx－x＋1)的导函数为g(x)．(1)求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)若函数g(x)存在极值，求λ的取值范围；(3)若x≥1时，f(x)≥0恒成立，求λ的最大值．解：(1)因为f′(x)＝ex－e－λlnx，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)＝0，又f(1)＝0，所以切线方程为y＝0.(2)g(x)＝ex－e－λlnx(x0)，g′(x)＝ex－λx.当λ≤0时，g′(x)＞0恒成立，从而g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故此时g(x)无极值.当λ＞0时，设h(x)＝ex－λx，则h′(x)＝ex＋λx2＞0恒成立，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增.①当0＜λ＜e时，h(1)＝e－λ＞0，hλe＝eλe－e＜0，且h(x)是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x0∈λe，1，使得h(x0)＝0.②当λ≥e时，h(1)＝e－λ≤0，h(λ)＝eλ－1＞0，且h(x)是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x0∈[1，λ)，使得h(x0)＝0.综上，当λ＞0时，存在唯一的x0＞0，使得h(x0)＝0.且当0＜x＜x0时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，当x＞x0时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，所以g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，因此g(x)在x＝x0处有极小值．所以当函数g(x)存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)．(3)g(x)＝f′(x)＝ex－e－λlnx(x0)，g′(x)＝ex－λx.若g′(x)≥0恒成立，则有λ≤xex恒成立．设φ(x)＝xex(x≥1)，则φ′(x)＝(x＋1)ex＞0恒成立，所以φ(x)在[1，＋∞)上单调递增，从而φ(x)≥φ(1)＝e，即λ≤e.于是当λ≤e时，g(x)在[1，＋∞)上单调递增，此时g(x)≥g(1)＝0，即f′(x)≥0，从而f(x)在[1，＋∞)上单调递增．所以f(x)≥f(1)＝0恒成立．当λ＞e时，由(2)知，存在x0∈(1，λ)，使得g(x)在(0，x0)上单调递减，即f′(x)在(0，x0)上单调递减．所以当1＜x＜x0时，f′(x)＜f′(1)＝0，于是f(x)在[1，x0)上单调递减，所以f(x0)＜f(1)＝0.这与x≥1时，f(x)≥0恒成立矛盾．因此λ≤e，即λ的最大值为e.