（江苏专用）2020高考数学二轮复习 综合仿真练（二） 理

综合仿真练(二)(理独)1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A．[选修4－2：矩阵与变换](2019·南京盐城二模)已知矩阵A＝2ba3，B＝110－1，AB＝2141.(1)求a，b的值；(2)求A的逆矩阵A－1.解：(1)因为A＝2ba3，B＝110－1，AB＝2141，所以2－b＝1，a＝4，a－3＝1，即b＝1，a＝4.(2)由(1)知，A＝2143，所以|A|＝2×3－1×4＝2，所以A－1＝32－12－4222＝32－12－21.B．[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·苏锡常镇一模)在极坐标系中，已知直线l：ρsinθ－π3＝0.在平面直角坐标系(原点与极点重合，x轴正方向为极轴的正方向)中，曲线C的参数方程为y＝t＋14t，x＝t－14t(t为参数)．设l与C交于A，B两点，求AB的长．解：由题意知，直线ρsinθ－π3＝0的直角坐标方程为y＝3x，①将曲线C的参数方程y＝t＋14t，x＝t－14t消去参数t，得其普通方程为y2－x2＝1，②联立①②，得y＝3x，y2－x2＝1，解得x＝22，y＝62或x＝－22，y＝－62，不妨令A22，62，B－22，－62，∴AB＝2＋6＝22.C．[选修4－5：不等式选讲](2019·苏锡常镇二模)已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝2.求证：a2b＋c＋b2c＋a＋c2a＋b≥1.证明：因为a0，b0，c0，a＋b＋c＝2，所以由柯西不等式得：[(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)]a2b＋c＋b2c＋a＋c2a＋b＝[(b＋c)2＋(c＋a)2＋(a＋b)2]ab＋c2＋bc＋a2＋ca＋b2≥b＋cab＋c＋c＋abc＋a＋a＋bca＋b2＝(a＋b＋c)2＝22，则a2b＋c＋b2c＋a＋c2a＋b≥22b＋c＋c＋a＋a＋b＝44＝1.所以a2b＋c＋b2c＋a＋c2a＋b≥1.2．如图，在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.(1)求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；(2)求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．解：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D­xyz，如图所示，则A(3,0,0)，C1(0,3,3)，B(3，3,0)，E(3,0,2)，AC1―→＝(－3,3,3)，BE―→＝(0，－3,2)，所以cos〈AC1―→，BE―→〉＝AC1―→·BE―→|AC1―→||BE―→|＝－9＋633×13＝－3939，故两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值为3939.(2)由(1)知BE―→＝(0，－3,2)，又D1(0,0,3)，B1(3,3,3)，所以D1E―→＝(3,0，－1)，BB1―→＝(0,0,3)．设平面BED1F的法向量为n＝(x，y，z)，则n·D1E―→＝0，n·BE―→＝0，即3x－z＝0，－3y＋2z＝0，令x＝1，得y＝2，z＝3，n＝(1,2,3)是平面BED1F的一个法向量．设直线BB1与平面BED1F所成的角为α，则sinα＝||cos〈BB1―→，n〉＝93×14＝31414，所以直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值为31414.3．对于给定的大于1的正整数n，设x＝a0＋a1n＋a2n2＋…＋annn，其中ai∈{0,1,2，…，n－1}，i＝0,1，2，…，n－1，n，且an≠0，记满足条件的所有x的和为An.(1)求A2；(2)设An＝nnn－fn2，求f(n)．解：(1)当n＝2时，x＝a0＋2a1＋4a2，a0∈{0,1}，a1∈{0,1}，a2＝1，故满足条件的x共有4个，分别为x＝0＋0＋4，x＝0＋2＋4，x＝1＋0＋4，x＝1＋2＋4，它们的和是22，所以A2＝22.(2)由题意得，a0，a1，a2，…，an－1各有n种取法；an有n－1种取法，由分步计数原理可得a0，a1，a2…，an－1，an的不同取法共有n·n·…·n·(n－1)＝nn(n－1)，即满足条件的x共有nn(n－1)个，当a0分别取0,1,2，…，n－1时，a1，a2，…，an－1各有n种取法，an有n－1种取法，故An中所有含a0项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)＝nnn－22；同理，An中所有含a1项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)·n＝nnn－22·n；An中所有含a2项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)·n2＝nnn－22·n2；An中所有含an－1项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)·nn－1＝nnn－22·nn－1；当an分别取i＝1,2，…，n－1时，a0，a1，a2，…，an－1各有n种取法，故An中所有含an项的和为(1＋2＋…＋n－1)nn·nn＝nn＋1n－2·nn.所以An＝nnn－22(1＋n＋n2＋…＋nn－1)＋nn＋1n－2·nn＝nnn－22·nn－1n－1＋nn＋1n－2·nn＝nnn－2(nn＋1＋nn－1)，故f(n)＝nn＋1＋nn－1.