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专项强化练(二)选修4-4:坐标系与参数方程(理独)题型一曲线的极坐标方程1.在极坐标系中,已知曲线C:ρ=2sinθ,过极点O的直线l与曲线C交于A,B两点,且AB=3,求直线l的极坐标方程.解:设直线l的方程为θ=θ0(ρ∈R),A(0,0),B(ρ1,θ0).则AB=|ρ1-0|=|2sinθ0|.又AB=3,故sinθ0=±32.解得θ0=π3+kπ或θ0=-π3+kπ,k∈Z.所以直线l的方程为θ=π3或θ=2π3(ρ∈R).2.求以C(4,0)为圆心,半径为4的圆的极坐标方程.解:如图所示,由题设可知,这个圆经过极点,圆心在极轴上,设圆与极轴的另一个交点是A,在圆上任取一点P(ρ,θ),连结OP,PA,在Rt△OPA中,|OA|=8,|OP|=ρ,∠AOP=θ,∴|OA|·cosθ=ρ,即8cosθ=ρ,即ρ=8cosθ就是圆C的极坐标方程.[临门一脚]1.在极坐标系中,求直线的极坐标方程的一般方法为:设M(ρ,θ)为直线上任意一点,极点为O,连结OM,构造出含有OM的三角形,再找出我们需求的ρ与θ的关系,即为直线的极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程,再化为极坐标方程.2.求圆的极坐标方程要注意作出图形,充分利用三角函数和解三角形的知识,探究极径和极角的关系,几种特殊圆的极坐标方程需要记忆清楚.3.解极坐标方程时如果求出ρ=0,需要进行检验,防止漏解.题型二方程互化1.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-22ρcosθ-π4=2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.解:(1)由ρ2=x2+y2,且x=ρcosθ,y=ρsinθ,得圆O1的直角坐标方程为x2+y2=4,由ρ2-22ρcosθ-π4=2,得ρ2-2ρ(cosθ+sinθ)=2,x2+y2-2(x+y)=2,故圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-2=0.(2)联立方程x2+y2-4=0,x2+y2-2x-2y-2=0,两式相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y-1=0,该直线的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-1=0.2.在平面直角坐标系xOy中,圆的参数方程为x=2+2cosα,y=2sinα(α为参数),以坐标原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求:(1)圆的普通方程;(2)圆的极坐标方程.解:(1)圆的普通方程为(x-2)2+y2=4.(2)把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上述方程,得圆的极坐标方程为ρ=4cosθ.3.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x=t+1,y=7-2t(t为参数)与椭圆C:x=acosθ,y=3sinθ(θ为参数,a>0)的一条准线的交点位于y轴上,求实数a的值.解:由题意,直线l的普通方程为2x+y=9,椭圆C的普通方程为y29+x2a2=1(0<a<3),椭圆C的准线方程为y=±99-a2,故99-a2=9,解得a=22(负值舍去).[临门一脚]1.极坐标与直角坐标互化的基本公式为x=ρcosθ,y=ρsinθ,也经常需要用到ρ2=x2+y2,tanθ=yx(x≠0).2.通过消去参数将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线的类型.(1)消去参数的方法一般有三种:①利用解方程的技巧求出参数的表示式,然后代入消去参数;②利用三角恒等式消去参数;③根据参数方程本身的结构特征,选用一些灵活的方法从整体上消去参数.(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使两种方程中的x,y的取值范围保持一致,否则将导致两种方程所对应的曲线不一致.题型三位置关系及参数方程应用1.在极坐标系中,求直线θ=π4(ρ∈R)被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长.解:法一:在ρ=4sinθ中,令θ=π4,得ρ=4sinπ4=22,即所求弦长为22.法二:以极点O为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.直线θ=π4(ρ∈R)的直角坐标方程为y=x,①曲线ρ=4sinθ的直角坐标方程为x2+y2-4y=0,②由①②得x=0,y=0或x=2,y=2,故直线θ=π4(ρ∈R)被曲线ρ=4sinθ所截弦长的端点坐标分别为(0,0),(2,2),所以直线θ=π4(ρ∈R)被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长为22+22=22.2.(2019·扬州四模)在极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为x=4cosα,y=1+cos2α(α为参数),求直线l与曲线C的交点P的直角坐标.解:直线l的直角坐标方程为y=x.由方程x=4cosα,y=1+cos2α可得y=2cos2α=2x42=18x2,又因为-1≤cosα≤1,所以-4≤x≤4.所以曲线C的普通方程为y=18x2(-4≤x≤4)将直线l的方程代入曲线方程中,得18x2=x,解得x=0或x=8(舍去)所以直线l与曲线C的交点P的直角坐标为(0,0).3.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为x=3cosφ,y=sinφ(其中φ为参数),以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθ+π3=36.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值.解:直线l的直角坐标方程为x-3y-36=0.设椭圆C上的点到直线l的距离为d.则d=|3cosφ-3sinφ-36|2=6sinφ-π4+362.所以当sinφ-π4=1时,dmax=26;当sinφ-π4=-1时,dmin=6.所以椭圆C上的点到直线l距离的最大值为26,最小值为6.4.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=-8+t,y=t2(t为参数),曲线C的参数方程为x=2s2,y=22s(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.解:直线l的普通方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线C上,设P(2s2,22s),从而点P到直线l的距离d=|2s2-42s+8|12+-2=s-22+45.当s=2时,dmin=455.因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值455.[临门一脚]1.如果遇到直线与圆的位置关系问题,应优先将方程化为普通方程后再研究较为方便.2.圆或椭圆的参数方程应用于求曲线上的点到直线距离的最值问题,需要辅助角公式的运用,等号成立的条件一定要写出.3.直线的参数方程为x=x0+tcosα,y=y0+tsinα中t的几何意义要清楚,但如果给的方程不是标准形式,此时不要直接用t的几何意义来处理弦的问题.
本文标题:(江苏专用)2020高考数学二轮复习 专项强化练(二)坐标系与参数方程 理 选修4-4
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