（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专项强化练（二）坐标系与参数方程 理 选修4-4

专项强化练(二)选修4－4：坐标系与参数方程(理独)题型一曲线的极坐标方程1．在极坐标系中，已知曲线C：ρ＝2sinθ，过极点O的直线l与曲线C交于A，B两点，且AB＝3，求直线l的极坐标方程．解：设直线l的方程为θ＝θ0(ρ∈R)，A(0,0)，B(ρ1，θ0)．则AB＝|ρ1－0|＝|2sinθ0|.又AB＝3，故sinθ0＝±32.解得θ0＝π3＋kπ或θ0＝－π3＋kπ，k∈Z.所以直线l的方程为θ＝π3或θ＝2π3(ρ∈R)．2．求以C(4,0)为圆心，半径为4的圆的极坐标方程．解：如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A，在圆上任取一点P(ρ，θ)，连结OP，PA，在Rt△OPA中，|OA|＝8，|OP|＝ρ，∠AOP＝θ，∴|OA|·cosθ＝ρ，即8cosθ＝ρ，即ρ＝8cosθ就是圆C的极坐标方程．[临门一脚]1．在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般方法为：设M(ρ，θ)为直线上任意一点，极点为O，连结OM，构造出含有OM的三角形，再找出我们需求的ρ与θ的关系，即为直线的极坐标方程．也可以先求出直角坐标方程，再化为极坐标方程．2．求圆的极坐标方程要注意作出图形，充分利用三角函数和解三角形的知识，探究极径和极角的关系，几种特殊圆的极坐标方程需要记忆清楚．3．解极坐标方程时如果求出ρ＝0，需要进行检验，防止漏解．题型二方程互化1．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ2＝x2＋y2，且x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4，由ρ2－22ρcosθ－π4＝2，得ρ2－2ρ(cosθ＋sinθ)＝2，x2＋y2－2(x＋y)＝2，故圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)联立方程x2＋y2－4＝0，x2＋y2－2x－2y－2＝0，两式相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y－1＝0，该直线的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－1＝0.2．在平面直角坐标系xOy中，圆的参数方程为x＝2＋2cosα，y＝2sinα(α为参数)，以坐标原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：(1)圆的普通方程；(2)圆的极坐标方程．解：(1)圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上述方程，得圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ.3．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＝t＋1，y＝7－2t(t为参数)与椭圆C：x＝acosθ，y＝3sinθ(θ为参数，a＞0)的一条准线的交点位于y轴上，求实数a的值．解：由题意，直线l的普通方程为2x＋y＝9，椭圆C的普通方程为y29＋x2a2＝1(0＜a＜3)，椭圆C的准线方程为y＝±99－a2，故99－a2＝9，解得a＝22(负值舍去)．[临门一脚]1．极坐标与直角坐标互化的基本公式为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，也经常需要用到ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)．2．通过消去参数将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．(1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；②利用三角恒等式消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x，y的取值范围保持一致，否则将导致两种方程所对应的曲线不一致．题型三位置关系及参数方程应用1．在极坐标系中，求直线θ＝π4(ρ∈R)被曲线ρ＝4sinθ所截得的弦长．解：法一：在ρ＝4sinθ中，令θ＝π4，得ρ＝4sinπ4＝22，即所求弦长为22.法二：以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线θ＝π4(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x，①曲线ρ＝4sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，②由①②得x＝0，y＝0或x＝2，y＝2，故直线θ＝π4(ρ∈R)被曲线ρ＝4sinθ所截弦长的端点坐标分别为(0,0)，(2,2)，所以直线θ＝π4(ρ∈R)被曲线ρ＝4sinθ所截得的弦长为22＋22＝22.2．(2019·扬州四模)在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为x＝4cosα，y＝1＋cos2α(α为参数)，求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．解：直线l的直角坐标方程为y＝x.由方程x＝4cosα，y＝1＋cos2α可得y＝2cos2α＝2x42＝18x2，又因为－1≤cosα≤1，所以－4≤x≤4.所以曲线C的普通方程为y＝18x2(－4≤x≤4)将直线l的方程代入曲线方程中，得18x2＝x，解得x＝0或x＝8(舍去)所以直线l与曲线C的交点P的直角坐标为(0,0)．3．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为x＝3cosφ，y＝sinφ(其中φ为参数)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋π3＝36.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值．解：直线l的直角坐标方程为x－3y－36＝0.设椭圆C上的点到直线l的距离为d.则d＝|3cosφ－3sinφ－36|2＝6sinφ－π4＋362.所以当sinφ－π4＝1时，dmax＝26；当sinφ－π4＝－1时，dmin＝6.所以椭圆C上的点到直线l距离的最大值为26，最小值为6.4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝－8＋t，y＝t2(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝2s2，y＝22s(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．解：直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.因为点P在曲线C上，设P(2s2,22s)，从而点P到直线l的距离d＝|2s2－42s＋8|12＋－2＝s－22＋45.当s＝2时，dmin＝455.因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值455.[临门一脚]1．如果遇到直线与圆的位置关系问题，应优先将方程化为普通方程后再研究较为方便．2．圆或椭圆的参数方程应用于求曲线上的点到直线距离的最值问题，需要辅助角公式的运用，等号成立的条件一定要写出．3．直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα中t的几何意义要清楚，但如果给的方程不是标准形式，此时不要直接用t的几何意义来处理弦的问题．