（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题六 概率、统计、复数、算法、推理与证明 第5讲 推理与证

第5讲推理与证明1．(2019·苏州期末)从1＝1，1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出第n个式子为________．[答案]1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋3＋…＋n)2．观察下列等式：1－12＝12，1－12＋13－14＝13＋14，1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16，…据此规律，第n个等式可为____________________．[解析]等式的左边的通项为12n－1－12n，前n项和为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n；右边的每个式子的第一项为1n＋1，共有n项，故为1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n．[答案]1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n3．(2019·徐州模拟)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝an－1an，则该数列的前22项和等于________．[解析]因为a1＝12，an＋1＝an－1an，所以a2＝－1，a3＝2，a4＝12，所以数列{an}是以3为周期的周期数列，所以S22＝7(a1＋a2＋a3)＋a1＝7×32＋12＝11．[答案]114．(2019·宿迁调研)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________．[解析]从给出的式子特点观察可推知，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123．[答案]1235．如图，在圆内画1条弦，把圆分成2部分；画2条相交的弦，把圆分成4部分；画3条两两相交的弦，最多把圆分成7部分；…；画n条两两相交的弦，最多把圆分成________个部分．[解析]易知当n条弦的交点不在圆周上，且没有公共交点时，把圆分的部分最多．当画1条弦时，分成1＋1个部分；当画2条弦时，分成1＋1＋2个部分；当画3条弦时，分成1＋1＋2＋3个部分；…所以画n条弦时，分成1＋1＋2＋3＋…＋n＝12(n2＋n)＋1(个)部分．[答案]12(n2＋n)＋16．(2019·南京模拟)命题p：已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作∠F1PF2的________的垂线，垂足为M，则OM的长为定值________．[解析]对于椭圆，延长F2M与F1P的延长线交于Q．由对称性知，M为F2Q的中点，且PF2＝PQ，从而OM∥F1Q且OM＝12F1Q．而F1Q＝F1P＋PQ＝F1P＋PF2＝2a，所以OM＝a．对于双曲线，过F2作∠F1PF2内角平分线的垂线，垂足为M，类比可得OM＝a．因为OM＝12F1Q＝12(PF1－PF2)＝12·2a＝a．[答案]内角平分线a7．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c．类比这个结论可知：四面体ABCD的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体ABCD的体积为V，则R＝________．[解析]设四面体ABCD的内切球的球心为O，连结OA，OB，OC，OD，将其分割成四个四面体，由分割法可得V＝13S1R＋13S2R＋13S3R＋13S4R，所以R＝3VS1＋S2＋S3＋S4．[答案]3VS1＋S2＋S3＋S48．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(八))已知下列等式：22＝422－42＋62＝2422－42＋62－82＋102＝6022－42＋62－82＋102－122＋142＝112……观察上述等式的规律，发现第n(n∈N*)个等式的右边可以表示为an2＋bn＋c(a，b，c为实常数)的形式，则ab＋c＝______．[解析]法一：每个等式的左边有(2n－1)个偶数的平方相加减，第一个偶数为2，最后一个偶数为2(2n－1)，正负相间，所以第n个等式的左边为22－42＋62－82＋…－[2(2n－2)]2＋[2(2n－1)]2，即4＋2[4＋6＋8＋…＋2(2n－2)＋2(2n－1)]＝4(1＋2＋3＋4＋5＋…＋2n－2＋2n－1)＝8n2－4n，所以a＝8，b＝－4，c＝0，所以ab＋c＝－2．法二：令n＝1，2，3，得a＋b＋c＝4，4a＋2b＋c＝24，9a＋3b＋c＝60，解得a＝8，b＝－4，c＝0，所以ab＋c＝－2．[答案]－29．(2019·无锡质量检测)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”则张老师的生日是________．[解析]根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．[答案]8月4日10．(2019·武汉调研)如图(1)所示，在平面几何中，设O是等腰直角三角形ABC的底边BC的中点，AB＝1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为R，Q，则有1AQ＋1AR＝2．类比以上结论，将其拓展到空间中，如图(2)所示，设O是正三棱锥A­BCD的底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB＝1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有________．[解析]设O到正三棱锥A­BCD三个侧面的距离为d，易知V三棱锥R­AQP＝13S△AQP·AR＝13×12·AQ·AP·AR＝16AQ·AP·AR．又因为V三棱锥R­AQP＝V三棱锥O­AQP＋V三棱锥O­ARP＋V三棱锥O­AQR＝13S△AQP·d＋13S△ARP·d＋13S△AQR·d＝16(AQ·AP＋AR·AP＋AQ·AR)d，所以16AQ·AP·AR＝16(AQ·AP＋AR·AP＋AQ·AR)d，即1AQ＋1AR＋1AP＝1d．而V三棱锥A­BDC＝13×12×1×1×1＝16，所以V三棱锥O­ABD＝13V三棱锥A­BDC＝118，即13·S△ABD·d＝13×12×d＝118，所以d＝13，所以1AQ＋1AR＋1AP＝3．[答案]1AQ＋1AR＋1AP＝311．(2019·苏州期末)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数a．①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°．(1)从上述五个式子中选择一个，求出常数a；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．[解](1)选择②式计算：a＝sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝34．(2)猜想的三角恒等式为：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34．证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sinαcosα－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34．12．(2019·徐州模拟)已知函数f(x)＝x＋1，设g1(x)＝f(x)，gn(x)＝f(gn－1(x))(n1，n∈N*)，(1)求g2(x)，g3(x)的表达式，并猜想gn(x)(n∈N*)的表达式(直接写出猜想结果)；(2)若关于x的函数y＝x2＋i＝1ngi(x)(n∈N*)在区间－∞，－1]上的最小值为6，求n的值．(符号“i＝1n”表示求和，例如：i＝1＋2＋3＋…＋n)[解](1)因为g1(x)＝f(x)＝x＋1，所以g2(x)＝f(g1(x))＝f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝x＋2，g3(x)＝f(g2(x))＝f(x＋2)＝(x＋2)＋1＝x＋3，所以猜想gn(x)＝x＋n．(2)因为gn(x)＝x＋n，所以i＝1ngi(x)＝g1(x)＋g2(x)＋…＋gn(x)＝nx＋n（n＋1）2，所以y＝x2＋i＝1ngi(x)＝x2＋nx＋n（n＋1）2＝x＋n22＋n2＋2n4．①当－n2≥－1，即n≤2时，函数y＝x＋n22＋n2＋2n4在区间(－∞，－1]上是减函数，所以当x＝－1时，ymin＝n2－n＋22＝6，即n2－n－10＝0，该方程没有整数解．②当－n2－1，即n2时，ymin＝n2＋2n4＝6，解得n＝4，综上所述，n＝4．13．由部分自然数构成如图所示的数表，用aij(i≥j)表示第i行第j个数(i，j∈N*)，使ai1＝aii＝i，每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的和．设第n(n∈N*)行中各数的和为bn．(1)用bn表示bn＋1；(2)试问：数列{bn}中是否存在不同的三项bp，bq，br(p，q，r∈N*)恰好成等差数列？若存在，求出p，q，r的关系；若不存在，请说明理由．[解](1)bn＝an1＋an2＋…＋ann，bn＋1＝a(n＋1)1＋a(n＋1)2＋…＋a(n＋1)(n＋1)＝n＋1＋(an1＋an2)＋…＋(an(n－1)＋ann)＋n＋1＝2(an1＋an2＋…＋ann)＋2＝2bn＋2．(2)因为bn＋1＝2bn＋2，所以bn＋1＋2＝2(bn＋2)，所以{bn＋2}是以b1＋2＝3为首项，2为公比的等比数列，则bn＋2＝3·2n－1⇒bn＝3·2n－1－2．若数列{bn}中存在不同的三项bp，bq，br(p，q，r∈N*)恰好成等差数列，不妨设pqr，显然{bn}是递增数列，则2bq＝bp＋br，即2(3·2q－1－2)＝(3·2p－1－2)＋(3·2r－1－2)，化简得：2·2q－r＝2p－r＋1，(*)由于p，q，r∈N*，且pqr，知q－r≥1，p－r≥2，所以(*)式左边为偶数，右边为奇数，故数列{bn}中不存在不同的三项bp，bq，br(p，q，r∈N*)恰好成等差数列．14．已知函数f(x)＝aa2－1(ax－a－x)，其中a0且a≠1．(1)分别判断f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性；(2)比较f(1)－1与f(2)－2、f(2)－2与f(3)－3的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明；(3)比较f（1）1与f（2）2、f（2）2与f（3）3的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明．[解](1)f′(x)＝aa2－1(ax＋a－x)lna，若0a1，则aa2－10，lna0，所以f′(x)0，若a1，则aa2－10，lna0，所以f′(x)0；因此，对任意a0且a≠1，都有f′(x)0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)直接计算知f(1)－1＝0，f(2)－2＝a＋a－1－2，f(3)－3＝a2＋a－2－2，根据基本不等式a＋a－1－20，所以f(2)－2f(1)－1，又因为(a2＋a－2－2)－(a＋a－1－2)＝(a－