（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题六 概率、统计、复数、算法、推理与证明 第3讲 复数练习

第3讲复数1．(2019·扬州模拟)已知i是虚数单位，则1－i（1＋i）2的实部为________．[解析]因为1－i（1＋i）2＝1－i2i＝－12－12i，所以1－i（1＋i）2的实部为－12．[答案]－122．(2019·泰州模拟)复数z满足iz＝3＋4i(i是虚数单位)，则z＝________．[解析]因为iz＝3＋4i，所以z＝3＋4ii＝（3＋4i）（－i）i（－i）＝4－3i．[答案]4－3i3．(2019·南京、盐城模拟)若复数z＝a＋ii(其中i为虚数单位)的实部与虚部相等，则a＝________．[解析]因为z＝a＋ii＝1－ai，它的实部与虚部相等，故－a＝1，即a＝－1．[答案]－14．若复数z满足z－1－i＝i，其中i为虚数单位，则z＝________．[解析]由已知得z－＝i(1－i)＝1＋i，则z＝1－i．[答案]1－i5．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的________条件．[解析]若复数a＋bi＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，ab＝0；而ab＝0时a＝0或b＝0，a＋bi不一定是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．[答案]必要不充分6．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量OA→和OB→，其中O为坐标原点，则|AB→|＝________．[解析]由题意知A(1，1)，B(－1，3)，故|AB→|＝（－1－1）2＋（3－1）2＝22．[答案]227．(2019·广东实验中学模拟改编)已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A(1，2)，B(－1，3)，则z2z1＝________．[解析]由复数的几何意义可知，z1＝1＋2i，z2＝－1＋3i，所以z2z1＝－1＋3i1＋2i＝（－1＋3i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝5＋5i5＝1＋i．[答案]1＋i8．设复数z满足|z|＝|z－1|＝1，则复数z的实部为________．[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝|z－1|＝1得a2＋b2＝1，（a－1）2＋b2＝1，两式相减得2a＝1，a＝12．[答案]129．(2019·徐州模拟)已知集合A＝{x|x2＋y2＝4}，集合B＝{x||x＋i|2，i为虚数单位，x∈R}，则集合A与B的关系是________．[解析]|x＋i|＝x2＋12，即x2＋14，解得－3x3，所以B＝(－3，3)，而A＝[－2，2]，所以BA．[答案]BA10．已知m∈R，复数1－mi在复平面内对应的点在直线x－y＝0上，则实数m的值是________．[解析]1－mi＝1＋mi，该复数对应的点为(1，m)，所以1－m＝0，m＝1．[答案]111．(2019·南京调研)定义：若z2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则称复数z是复数a＋bi的平方根．根据定义，则复数－3＋4i的平方根是________．[解析]设(x＋yi)2＝－3＋4i(x，y∈R)，则x2－y2＝－3，xy＝2，解得x＝1，y＝2，或x＝－1，y＝－2．故x＋yi＝1＋2i或x＋yi＝－1－2i．[答案]1＋2i或－1－2i12．(2019·泰州期末)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝3，则yx的最大值为________．[解析]|z－2|＝（x－2）2＋y2＝3，所以(x－2)2＋y2＝3．由图可知yxmax＝31＝3．[答案]313．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为________．[解析]|z|＝（x－1）2＋y2≤1，即(x－1)2＋y2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z|≤1时，y≥x表示的是图中阴影部分，其面积为S＝14π×12－12×1×1＝π－24．又圆的面积为π，根据几何概型公式得概率P＝π－24π＝14－12π．[答案]14－12π14．设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题的序号是________．①若|z1－z2|＝0，则z－1＝z－2；②若z1＝z－2，则z－1＝z2；③若|z1|＝|z2|，则z1·z－1＝z2·z－2;④若|z1|＝|z2|，则z21＝z22．[解析]由|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，所以z1＝z2，所以z－1＝z－2，故①为真命题；由于z1＝z－2，则z－1＝z=2＝z2，故②为真命题；由|z1|＝|z2|，得|z1|2＝|z2|2，则有z1·z－1＝z2·z－2，故③为真命题，④为假命题．[答案]①②③