（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质练习

第1讲三角函数的图象与性质1．函数y＝tanx－π4的定义域是________．[解析]因为x－π4≠kπ＋π2，所以x≠kπ＋3π4，k∈Z．[答案]x|x≠kπ＋3π4，k∈Z2．(2019·徐州模拟)函数y＝cosπ4－2x的单调减区间为________．[解析]由y＝cosπ4－2x＝cos2x－π4得2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)．所以函数的单调减区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)．[答案]kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)3．(2019·镇江市高三调研考试)定义在0，π2的函数f(x)＝8sinx－tanx的最大值为________．[解析]f′(x)＝8cosx－cos2x＋sin2xcos2x＝8cos3x－1cos2x，令f′(x)＝0，得cosx＝12，又x∈0，π2，所以x＝π3，且当x∈0，π3时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈π3，π2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以fπ3是f(x)的极大值，也是最大值，故f(x)max＝fπ3＝33．[答案]334．(2019·苏北三市高三模拟)已知函数f(x)＝sinx(x∈[0，π])和函数g(x)＝12tanx的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积为________．[解析]由题意知，x≠π2，令sinx＝12tanx，可得sinx＝sinx2cosx，x∈0，π2∪π2，π，可得sinx＝0或cosx＝12，则x＝0或π或π3，不妨设A(0，0)，B(π，0)，Cπ3，32，则△ABC的面积为12π×32＝34π．[答案]34π5．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知在矩形ABCD中，AB⊥x轴，且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数y＝acos(aπx)＋b(a，b∈R，a≠0)的一个完整周期的图象，则当a变化时，矩形ABCD的面积为________．[解析]由题意得，矩形ABCD的边长分别为函数y＝acos(aπx)＋b(a，b∈R，a≠0)的最小正周期2a和|2a|，故此矩形的面积为2a×|2a|＝4．[答案]46．(2019·山西四校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则y＝fx＋π6取得最小值时x的集合为________．[解析]根据所给图象，周期T＝4×7π12－π3＝π，故π＝2πω，所以ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|＜π2，得φ＝－π6，所以fx＋π6＝sin2x＋π6，当2x＋π6＝－π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝－π3＋kπ(k∈Z)时，y＝fx＋π6取得最小值．[答案]x|x＝kπ－π3，k∈Z7．(2019·南京模拟)已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω0，0φπ)为奇函数，A(a，0)，B(b，0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f16＝________．[解析]因为函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω0，0φπ)为奇函数，所以cosφ＝0(0φπ)，所以φ＝π2，所以f(x)＝－4sinωx，又A(a，0)，B(b，0)是其图象上两点，且|a－b|的最小值是1，所以函数f(x)的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f(x)＝－4sinπx，所以f16＝－4sinπ6＝－2．[答案]－28．(2019·苏北三市高三第一次质量检测)将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则以函数f(x)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为______．[解析]函数f(x)＝sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)＝sin2x－π3的图象，如图所示，点A的坐标为π3，32，B，C之间的距离为一个周期π，所以三角形ABC的面积为12π×2×32＝3π2．[答案]3π29．(2019·开封模拟)如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin2(ωx＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1，0))，那么ω的值为________．[解析]由f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝1－cos（2ωx＋2φ）2及其图象知，1212×2π2ω1，即π2ωπ，所以正整数ω＝2或3．由函数f(x)的图象经过点(1，0)，得f(1)＝1－cos（2ω＋2φ）2＝0，得2ω＋2φ＝2kπ(k∈Z)，即2φ＝2kπ－2ω(k∈Z)．由图象知f(0)12，即1－cos2φ2＝1－cos2ω212，得cos2ω0，所以ω＝2．[答案]210．(2019·无锡市普通高中高三调研考试)已知直线y＝a(x＋2)(a0)与函数y＝|cosx|的图象恰有四个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，其中x1x2x3x4，则x4＋1tanx4＝______．[解析]易知直线y＝a(x＋2)过定点(－2，0)，作出直线y＝a(x＋2)与函数y＝|cosx|的图象，如图所示．由图可知，直线y＝a(x＋2)(a0)与y＝|cosx|的图象在x＝x4处相切，且x4∈π2，π，则a(x4＋2)＝－cosx4，所以a＝－cosx4x4＋2，又在π2，π上，y＝－cosx，y′＝sinx，所以(－cosx4)′＝sinx4，所以a＝sinx4．因此a＝－cosx4x4＋2＝sinx4，即cosx4sinx4＝－x4－2，x4＋cosx4sinx4＝x4＋1tanx4＝－2．[答案]－211．已知函数f(x)＝2sin2x－π4＋1．(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y＝f(x)在－π2，π2上的图象．[解](1)振幅为2，最小正周期T＝π，初相为－π4．(2)图象如图所示．12．(2019·扬州市第一学期期末检测)已知函数f(x)＝cos2x＋23sinxcosx－sin2x，x∈R．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求方程f(x)＝0在(0，π]内的所有解．[解]f(x)＝cos2x＋23sinxcosx－sin2x＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)．(1)由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ]，k∈Z．(2)由f(x)＝0，得2sin(2x＋π6)＝0，得2x＋π6＝kπ，k∈Z，即x＝－π12＋kπ2，k∈Z，因为x∈(0，π]，所以x＝5π12或x＝11π12．13．(2019·南通市高三调研)已知函数f(x)＝Asinωx＋π3(A＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π3，32．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若角α满足f(α)＋3fα－π2＝1，α∈(0，π)，求角α的值．[解](1)由条件得，最小正周期T＝2π，即2πω＝2π，所以ω＝1，即f(x)＝Asinx＋π3．因为f(x)的图象经过点π3，32，所以Asin2π3＝32，所以A＝1，所以f(x)＝sinx＋π3．(2)由f(α)＋3fα－π2＝1，得sinα＋π3＋3sinα＋π3－π2＝1，即sinα＋π3－3cosα＋π3＝1，所以2sinα＋π3－π3＝1，即sinα＝12．因为α∈(0，π)，所以α＝π6或5π6．14．已知函数f(x)＝sinωxcosωx＋3cos2ωx－32(ω0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为π4．(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间0，π2上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．[解](1)f(x)＝12sin2ωx＋3×1＋cos2ωx2－32＝12sin2ωx＋32cos2ωx＝sin2ωx＋π3，由题意知，最小正周期T＝2×π4＝π2，T＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f(x)＝sin4x＋π3．(2)将f(x)的图象向右平移π8个单位后，得到y＝sin4x－π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin2x－π6的图象．所以g(x)＝sin2x－π6．令2x－π6＝t，因为0≤x≤π2，所以－π6≤t≤5π6．g(x)＋k＝0在区间0，π2上有且只有一个实数解，即函数g(t)＝sint与y＝－k在区间－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k12或－k＝1．所以－12k≤12或k＝－1．