（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 2 第2讲 同角三角函数的基本

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1．若cosx＝1213，且x为第四象限的角，则tanx的值为________．解析：因为x为第四象限的角，所以sinx＝－1－cos2x＝－513，于是tanx＝－5131213＝－512.答案：－5122．已知sin5π2＋α＝15，那么cosα＝________.解析：sin5π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα＝15.答案：153．已知cosπ2－φ＝32，且|φ|π2，则tanφ＝________．解析：cosπ2－φ＝sinφ＝32，又|φ|π2，则cosφ＝12，所以tanφ＝3.答案：34．化简：cos（α－π）sin（π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝________．解析：cos（α－π）sin（π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝－cosαsinα·(－cosα)·(－sinα)＝－cos2α.答案：－cos2α5．如果f(tanx)＝sin2x－5sinx·cosx,那么f(5)＝________.解析：f(tanx)＝sin2x－5sinx·cosx＝sin2x－5sinx·cosxsin2x＋cos2x＝sin2xcos2x－5sinxcosxsin2xcos2x＋1＝tan2x－5tanxtan2x＋1，所以f(5)＝52－5×552＋1＝0.答案：06．已知sinθ＝－13，θ∈－π2，π2，则sin(θ－5π)·sin32π－θ的值是________．解析：因为sinθ＝－13，θ∈－π2，π2，所以cosθ＝1－sin2θ＝223.所以原式＝－sin(π－θ)·(－cosθ)＝sinθcosθ＝－13×223＝－229.答案：－2297．(2019·江苏省四校联考)已知sinx＝m－3m＋5，cosx＝4－2mm＋5，且x∈3π2，2π，则tanx＝________.解析：由sin2x＋cos2x＝1，即m－3m＋52＋4－2mm＋52＝1，得m＝0或m＝8.又x∈3π2，2π，所以sinx0，cosx0，所以当m＝0时，sinx＝－35，cosx＝45，此时tanx＝－34；当m＝8时，sinx＝513，cosx＝－1213(舍去)．综上知，tanx＝－34.答案：－348．若f(α)＝sin[（k＋1）π＋α]·cos[（k＋1）π－α]sin（kπ－α）·cos（kπ＋α）(k∈Z)，则f(2018)＝________．解析：①当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，原式＝sin（2nπ＋π＋α）·cos（2nπ＋π－α）sin（－α）·cosα＝sin（π＋α）·cos（π－α）－sinα·cosα＝－1；②当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，原式＝sin[（2n＋2）π＋α]·cos[（2n＋2）π－α]sin[（2n＋1）π－α]·cos[（2n＋1）π＋α]＝sinα·cos（－α）sin（π－α）·cos（π＋α）＝－1.综上所述，当k∈Z时，f(α)＝－1，故f(2018)＝－1.答案：－19．sin43π·cos56π·tan－43π的值是________．解析：原式＝sinπ＋π3·cosπ－π6·tan－π－π3＝－sinπ3·－cosπ6·－tanπ3＝－32×－32×(－3)＝－334.答案：－33410．当0xπ4时，函数f(x)＝cos2xcosxsinx－sin2x的最小值是________．解析：当0xπ4时，0tanx1，f(x)＝cos2xcosxsinx－sin2x＝1tanx－tan2x，设t＝tanx，则0t1，y＝1t－t2＝1t（1－t）≥1t＋（1－t）22＝4.当且仅当t＝1－t，即t＝12时等号成立．答案：411．化简：1＋sinα1－sinα－1－sinα1＋sinα·1＋cosα1－cosα－1－cosα1＋cosα.解：原式＝（1＋sinα）2cos2α－（1－sinα）2cos2α·（1＋cosα）2sin2α－（1－cosα）2sin2α＝1＋sinα|cosα|－1－sinα|cosα|·1＋cosα|sinα|－1－cosα|sinα|＝2sinα|cosα|·2cosα|sinα|＝4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时.12．已知sinθ＝45，π2θπ.(1)求tanθ的值；(2)求sin2θ＋2sinθcosθ3sin2θ＋cos2θ的值．解：(1)因为sin2θ＋cos2θ＝1，sinθ＝45，所以cos2θ＝925.又π2θπ，所以cosθ＝－35.所以tanθ＝sinθcosθ＝－43.(2)由(1)知，sin2θ＋2sinθcosθ3sin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋2tanθ3tan2θ＋1＝－857.1．若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝________．解析：由cosα＋2sinα＝－5，可知cosα≠0，两边同除以cosα得，1＋2tanα＝－51cosα，两边平方得(1＋2tanα)2＝5cos2α＝5(1＋tan2α)，所以tan2α－4tanα＋4＝0，解得tanα＝2.答案：22．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2019)的值为________．解析：因为f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，所以f(2019)＝asin(2019π＋α)＋bcos(2019π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－(asinα＋bcosβ)＝－3.即f(2019)＝－3.答案：－33．若sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，则cosα＝________．解析因为sinα＝2sinβ，①tanα＝3tanβ，tan2α＝9tan2β.②由①2÷②得：9cos2α＝4cos2β.③由①2＋③得sin2α＋9cos2α＝4.又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝38，所以cosα＝±64.答案：±644．(2019·无锡模拟)已知sin(3π＋α)＝lg1310，则cos（π＋α）cosα[cos（π－α）－1]＋cos（α－2π）cosαcos（π－α）＋cos（α－2π）的值为________．解析：由于sin(3π＋α)＝－sinα，lg1310＝－13，得sinα＝13，原式＝－cosαcosα（－cosα－1）＋cosα－cos2α＋cosα＝11＋cosα＋11－cosα＝2sin2α＝18.答案：185．已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－sinθcosθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ＝sin2θ－cos2θsinθ－cosθ＝sinθ＋cosθ.由条件知sinθ＋cosθ＝3＋12，故sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ＝3＋12.(2)由已知，得sinθ＋cosθ＝3＋12，sinθcosθ＝m2，又1＋2sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2，可得m＝32.(3)由sinθ＋cosθ＝3＋12，sinθcosθ＝34知sinθ＝32，cosθ＝12，或sinθ＝12，cosθ＝32.又θ∈(0，2π)，故θ＝π6或θ＝π3.6．在△ABC中，若sin(3π－A)＝2sin(π－B)，cos3π2－A＝2cos(π－B)．试判断三角形的形状．解：由已知得sinA＝2sinB，①sinA＝2cosB，②由①②得，sinB＝cosB，即tanB＝1.又因为0Bπ，所以B＝π4，所以sinA＝2×22＝1.又0Aπ，所以A＝π2，所以C＝π－A－B＝π－π2－π4＝π4.故△ABC是等腰直角三角形．