（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 2 第2讲 函数的定义域

第2讲函数的定义域与值域1．函数f(x)＝x－4|x|－5的定义域为________．解析：由x－4≥0，|x|－5≠0，得x≥4且x≠5.答案：{x|x≥4，且x≠5}2．若x有意义，则函数y＝x2＋3x－5的值域是________．解析：因为x有意义，所以x≥0.又y＝x2＋3x－5＝x＋322－94－5，所以当x＝0时，ymin＝－5.答案：[－5，＋∞)3．函数y＝1x2＋2的值域为________．解析：因为x2＋2≥2，所以01x2＋2≤12.所以0y≤12.答案：y|0y≤124．(2019·南京四校第一学期联考)函数f(x)＝x2－5x＋6lg（2x－3）的定义域为________．解析：要使f(x)有意义，必须2x－3＞0lg（2x－3）≠0x2－5x＋6≥0，所以x＞32x≠2x≥3或x≤2，所以函数f(x)的定义域为32，2∪[3，＋∞)．答案：32，2∪[3，＋∞)5．若函数y＝f(x)的定义域是[0，2014]，则函数g(x)＝f（x＋1）x－1的定义域是________．解析：令t＝x＋1，则由已知函数y＝f(x)的定义域为[0，2014]可知，0≤t≤2014，故要使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2014，解得－1≤x≤2013，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2013]．所以函数g(x)有意义的条件是－1≤x≤2013，x－1≠0，解得－1≤x1或1x≤2013.故函数g(x)的定义域为[－1，1)∪(1，2013]．答案：[－1，1)∪(1，2013]6．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________．解析：y＝x－x＝－(x)2＋x＝－x－122＋14，即ymax＝14.答案：147．(2019·南京模拟)定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当ab时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]，则函数f(x)的值域为________．解析：由题意知，f(x)＝x－2，x∈[－2，1]，x3－2，x∈（1，2]，当x∈[－2，1]时，f(x)∈[－4，－1]；当x∈(1，2]时，f(x)∈(－1，6]．故当x∈[－2，2]时，f(x)∈[－4，6]．答案：[－4，6]8．已知集合A是函数f(x)＝1－x2＋x2－1x的定义域，集合B是其值域，则A∪B的子集的个数为________．解析：要使函数f(x)的解析式有意义，则需1－x2≥0，x2－1≥0，x≠0，解得x＝1或x＝－1，所以函数的定义域A＝{－1，1}．而f(1)＝f(－1)＝0，故函数的值域B＝{0}，所以A∪B＝{1，－1，0}，其子集的个数为23＝8.答案：89．(2019·苏州质检)已知函数f(x)＝mx2＋（m－3）x＋1的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是________．解析：当m＝0时，函数f(x)＝－3x＋1的值域是[0，＋∞)，显然成立；当m＞0时，Δ＝(m－3)2－4m≥0，解得0＜m≤1或m≥9.显然m＜0时不合题意．综上可知，实数m的取值范围是[0，1]∪[9，＋∞)．答案：[0，1]∪[9，＋∞)10．已知二次函数f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则c＋2a＋a＋2c的最小值为________．解析：由二次函数的值域是[0，＋∞)，可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有a＞0，4ac－14a＝0，从而c＝14a＞0.又c＋2a＋a＋2c＝2a＋8a＋14a2＋4a2≥2×4＋2＝10，当且仅当2a＝8a，14a2＝4a2，即a＝12时取等号，故所求的最小值为10.答案：1011.(1)求函数f(x)＝lg（x2－2x）9－x2的定义域．(2)已知函数f(2x)的定义域是[－1，1]，求f(x)的定义域．解：(1)要使该函数有意义，需要x2－2x0，9－x20，则有x0或x2，－3x3，解得－3x0或2x3，所以所求函数的定义域为(－3，0)∪(2，3)．(2)因为f(2x)的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，所以12≤2x≤2，故f(x)的定义域为12，2.12．已知函数g(x)＝x＋1,h(x)＝1x＋3，x∈(－3，a]，其中a为常数且a0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当a＝14时，求函数f(x)的值域．解：(1)f(x)＝x＋1x＋3，x∈[0，a](a0)．(2)函数f(x)的定义域为0，14，令x＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈1，32，f(x)＝F(t)＝tt2－2t＋4＝1t＋4t－2，当t＝4t时，t＝±2∉1，32，又t∈1，32时，t＋4t单调递减，F(t)单调递增，F(t)∈13，613.即函数f(x)的值域为13，613.1．若函数f(x)＝12x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b1)，则a＝________，b＝________．解析：因为f(x)＝12(x－1)2＋a－12，所以其对称轴为x＝1.即[1，b]为f(x)的单调递增区间．所以f(x)min＝f(1)＝a－12＝1，①f(x)max＝f(b)＝12b2－b＋a＝b，②由①②解得a＝32，b＝3.答案：3232．(2019·徐州质检)已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1，4}，这样的函数有________个．解析：列举法：定义域可能是{1，2}、{－1，2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2，2}、{－1，－2，2}、{－1，1，2}、{－1，1，－2}、{－1，1，－2，2}．答案：93．(2019·无锡质检)已知函数f(x)＝（1－2a）x＋3a，x＜1，lnx，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知y＝lnx(x≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f(x)的值域为R，则必有y＝(1－2a)x＋3a为增函数，且1－2a＋3a≥0，所以1－2a＞0，且a≥－1，解得－1≤a＜12.答案：[－1，12)4．(2019·常州调研)设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝g（x）＋x＋4，xg（x），g（x）－x，x≥g（x），则f(x)的值域是________．解析：令xg(x)，即x2－x－20，解得x－1或x2；令x≥g(x)，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，故函数f(x)＝x2＋x＋2，x－1或x2，x2－x－2，－1≤x≤2.当x－1或x2时，函数f(x)f(－1)＝2；当－1≤x≤2时，函数f12≤f(x)≤f(－1)，即－94≤f(x)≤0，故函数f(x)的值域是－94，0∪(2，＋∞)．答案：－94，0∪(2，＋∞)5．若函数f(x)＝（a2－1）x2＋（a－1）x＋2a＋1的定义域为R，求实数a的取值范围．解：由函数的定义域为R，可知对x∈R，f(x)恒有意义，即对x∈R，(a2－1)x2＋(a－1)x＋2a＋1≥0恒成立．①当a2－1＝0，即a＝1(a＝－1舍去)时，有1≥0，对x∈R恒成立，故a＝1符合题意；②当a2－1≠0，即a≠±1时，则有a2－10，Δ＝（a－1）2－4（a2－1）×2a＋1≤0，解得1a≤9.综上，可得实数a的取值范围是[1，9]．6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a、b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有等根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由．解：(1)f(x)＝－x2＋2x.(2)由f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，知f(x)max＝1，所以4n≤1，即n≤14＜1.故f(x)在[m，n]上为增函数，所以f（m）＝4m，f（n）＝4n，解得m＝－2，n＝0，所以存在m＝－2，n＝0，满足条件．7．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．解：(1)因为函数的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0⇒2a2－a－3＝0⇒a＝－1或a＝32.(2)因为对一切x∈R函数值均为非负数，所以Δ＝8(2a2－a－3)≤0⇒－1≤a≤32.所以a＋30.所以g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2＝－a＋322＋174a∈－1，32.因为二次函数g(a)在－1，32上单调递减，所以g32≤g(a)≤g(－1)，即－194≤g(a)≤4.所以g(a)的值域为－194，4.