（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 7 第7讲 抛物线刷好题练能力 文

第7讲抛物线1．(2019·江苏七校联考)抛物线14x2＝y的焦点坐标是________．解析：由14x2＝y⇒x2＝4y，于是焦点坐标为(0，1)．答案：(0，1)2．(2019·连云港模拟)顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(－4，－2)的抛物线方程是________．解析：设抛物线方程为x2＝my，将点P(－4，－2)代入x2＝my，得m＝－8.所以抛物线方程是x2＝－8y.答案：x2＝－8y3．抛物线的焦点为椭圆x29＋y24＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________．解析：由c2＝9－4＝5得F(－5，0)，则抛物线方程为y2＝－45x.答案：y2＝－45x4．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AF＝54x0，则x0＝________．解析：由题意知抛物线的准线为x＝－14.因为AF＝54x0，根据抛物线的定义可得x0＋14＝AF＝54x0，解得x0＝1.答案：15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．解析：以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p＝1，则抛物线的方程为x2＝－2y，当水面下降1米时，为y＝－3，代入抛物线方程得x＝±6，所以此时水面宽为26米．答案：266．(2019·江苏省第一次统一检测)已知抛物线C的方程为y2＝2px(p0)，⊙M的方程为x2＋y2＋8x＋12＝0，如果抛物线C的准线与⊙M相切，那么p的值为________．解析：将⊙M的方程化为标准方程：(x＋4)2＋y2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r＝2，又因为抛物线的准线方程为x＝－p2，所以4－p2＝2，p＝12或4.答案：12或47．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP→＝4FQ→，则QF＝________．解析：过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为FP→＝4FQ→，所以PQ∶PF＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以QF＝QQ′＝3.答案：38．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交y轴于点A，抛物线上有一点B满足OB→＝OA→＋OF→(O为坐标原点)，则△BOF的面积是________．解析：由题可知F(1，0)，可设过焦点F的直线方程为y＝k(x－1)(可知k存在)，则A(0，－k)，所以B(1，－k)，由点B在抛物线上，得k2＝4，k＝±2，即B(1，±2)，S△BOF＝12·OF·|yB|＝12×1×2＝1.答案：19．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．解析：由双曲线方程5x2－y2＝20知其渐近线方程为y＝±5x，由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p0)，故其准线方程为x＝－p2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A，B，则不妨令A－p2，52p，B－p2，－52p，故S△ABO＝12×5p×p2＝54p2＝45，解得p2＝16，又因为p0，所以p＝4，故抛物线方程为y2＝8x.答案：y2＝8x10．抛物线y2＝2px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1，2)．若点F恰为△ABC的重心，则直线BC的方程为________．解析：因为点A在抛物线上，所以4＝2p，p＝2，抛物线方程为y2＝4x，焦点F(1，0)，设点B(x1，y1)，点C(x2，y2)，则有y21＝4x1，①y22＝4x2，②由①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)得kBC＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2.又因为y1＋y2＋23＝0，所以y1＋y2＝－2，所以kBC＝－2.又因为x1＋x2＋13＝1，所以x1＋x2＝2，所以BC的中点为(1，－1)，则BC所在直线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0.答案：2x＋y－1＝011．(2019·江苏省四校联考)已知抛物线y2＝2x上有四点A(x1，y1)、B(x2，y2)，C(x3，y3)、D(x4，y4)，点M(3，0)，直线AB、CD都过点M，且都不垂直于x轴，直线PQ过点M且垂直于x轴，交AC于点P，交BD于点Q.(1)求y1y2的值；(2)求证：MP＝MQ.解：(1)设直线AB的方程为x＝my＋3，与抛物线方程联立得：y2－2my－6＝0，所以y1y2＝－6.(2)证明：直线AC的斜率为y1－y3x1－x3＝2y1＋y3，所以直线AC的方程为y＝2y1＋y3(x－x1)＋y1.所以点P的纵坐标为yP＝6＋y1y3y1＋y3＝6＋－6y2y3－6y2＋y3＝6（y2－y3）y2y3－6，同理点Q的纵坐标为yQ＝6（y3－y2）y2y3－6，所以yP＋yQ＝0，又PQ⊥x轴，所以MP＝MQ.12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在x轴上．(1)求抛物线C的标准方程；(2)求过点F且与直线OA垂直的直线方程；(3)设过点M(m，0)(m0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME＝2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式．解：(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2＝2px.因为点A(2，2)在抛物线C上，所以p＝1.因此抛物线C的标准方程为y2＝2x.(2)由(1)可得焦点F的坐标是12，0，又直线OA的斜率为22＝1，故与直线OA垂直的直线的斜率为－1，因此所求直线的方程是x＋y－12＝0.(3)设点D和E的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，直线DE的方程是y＝k(x－m)，k≠0.将x＝yk＋m代入y2＝2x，有ky2－2y－2km＝0，解得y1，2＝1±1＋2mk2k.由ME＝2DM知1＋1＋2mk2＝2(1＋2mk2－1)，化简得k2＝4m.因此DE2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋1k2(y1－y2)2＝1＋1k24（1＋2mk2）k2＝94(m2＋4m)，所以f(m)＝32m2＋4m(m0).1．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．解析：由题可知抛物线焦点坐标为a4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y＝2x－a4，令x＝0，可得A点坐标为0，－a2，所以S△OAF＝12·|a|4·|a|2＝4，得a＝±8，故抛物线方程为y2＝±8x.答案：y2＝±8x2．(2019·南通质检)已知点M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则MQ－QF的最小值是________．解析：抛物线的准线方程为x＝－12，当MQ∥x轴时，MQ－QF取得最小值，此时点Q的纵坐标y＝2，代入抛物线方程y2＝2x得Q的横坐标x＝2，则(QM－QF)min＝|2＋3|－2＋12＝52.答案：523．(2019·无锡模拟)过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则AFBF的值等于________．解析：记抛物线y2＝2px的准线为l′，如图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分别是A1，B1，C，则有cos∠ABB1＝BCAB＝BB1－AA1AF＋BF＝BF－AFAF＋BF，即cos60°＝BF－AFAF＋BF＝12，由此得AFBF＝13.答案：134．(2019·泰州模拟改编)直线x＝1与抛物线C：y2＝4x交于M，N两点，点P是抛物线C准线上的一点，记向量OP→＝aOM→＋bON→(a，b∈R)，其中O为抛物线C的顶点．给出下列命题：①∀a，b∈R，△PMN不是等边三角形；②∃a0且b0，使得向量OP→与ON→垂直；③无论点P在准线上如何运动，a＋b＝－1总成立．其中，所有正确命题的序号是________．解析：根据题意可知，当点P落在准线与x轴的交点时，PM＝PN＝22≠MN＝4，所以△PMN不是等边三角形，所以无论P在何处即∀a，b∈R，△PMN都不是等边三角形．故①正确，根据题意不妨令M(1，2)，N(1，－2)，令OP→·ON→＝0，即(a＋b)·1－2(2a－2b)＝0，整理得3a＝5b，所以∃a0且b0，使得向量OP→与ON→垂直，故②正确，OP→＝(a＋b，2a－2b)，因为点P在抛物线的准线上，所以a＋b＝－1总成立，故③正确．答案：①②③5．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；(2)若线段AB＝20，求直线l的方程．解：(1)由已知得抛物线的焦点为F(1，0)．因为线段AB的中点在直线y＝2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22.由y21＝4x1，y22＝4x2得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以2y0k＝4.又y0＝2，所以k＝1，故直线l的方程是y＝x－1.(2)设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得x＝my＋1，y2＝4x，消元得y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)0.AB＝m2＋1|y1－y2|＝m2＋1·（y1＋y2）2－4y1y2＝m2＋1·（4m）2－4×（－4）＝4(m2＋1)．所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2，所以直线l的方程是x＝±2y＋1，即x±2y－1＝0.6．如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．解：(1)依题意，OB＝83，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝OBsin30°＝43，y＝OBcos30°＝12.因为点B(43，12)在x2＝2py上，所以(43)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.(2)证明：由(1)知y＝14x2，y′＝12x.设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝14x20，且l的方程为y－y0＝12x0(x－x0)，即y＝12x0x－14x20.由y＝12x0x－14x20，y＝－1，得x＝x20－42x0，y＝－1.所以Q为x20－42x0，－1.设定点为M(0，y1)，令MP→·MQ→＝0对满足y0＝14x20(x0≠0)的x0，y0恒成立．由于MP→＝(x0，y0－y1)，MQ→＝x20－42x0，－1－y1，由MP→·MQ→＝0，得x20－42－y0－y0y1＋y1＋y21＝0，即(y21＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)由于(*)式对满足y0＝14x20(x0≠0)的y0恒成立，所以1－y1＝0，y21＋y1－2＝0，解得y1＝1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)．