（江苏专用）2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（十九）计数应用题 苏教版选修2-3

课时跟踪检测（十九）计数应用题[课下梯度提能]一、基本能力达标1．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退烧药b1，b2，b3，b4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知a1，a2两种药必须同时使用，且a3，b4两种药不能同时使用，则不同的实验方案共有()A．56种B．28种C．21种D．14种解析：选D分3类：当取a1，a2时，再取退烧药有C14种方案；取a3时，取另一种消炎药的方法有C12种，再取退烧药有C13种，共有C12C13种方案；取a4，a5时，再取退烧药有C14种方案．故共有C14＋C12C13＋C14＝14(种)不同的实验方案．2．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校，要求每所学校至少有1个名额，且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为()A．96B．114C．128D．136解析：选B由题意可得每所学校至少有1个名额的分配方法种数为C217＝136，分配名额相等有22种(可以逐个数)，则满足题意的方法有136－22＝114(种)．3．将5名同学分成甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同分组方案的种数为()A．180B．120C．80D．60解析：选C由题意可得不同的组合方案种数为C25C23A22＋C35C12＝80.4．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A．12种B．18种C．24种D．48种解析：选C把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有A22·A22种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有A23种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为A22·A22·A23＝24.5．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A．C28A23B．C26A66C．C28A25D．C28A26解析：选D第一步可先从后排8人中选2人共有C28种；第二步可认为前排放6个座位，先选出2个座位让后排的2人坐，由于其他人的顺序不变，所以有A26种坐法．综上知“不同”调整方法的种数为C28A26.6．甲组有男同学5名，女同学3名，乙组有6名男同学，2名女同学，从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有________种．解析：第一类，选出的1名女生出自甲组，选法为C15C13C26＝225(种)；第二类，1名女生出自乙组，选法为C25C16C12＝120(种)．共有225＋120＝345(种)．答案：3457．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有________个．解析：分两类，第一类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有C14·C25种方法；第二类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点共有C24·C15种方法．∴满足条件的三角形共有C14·C25＋C24·C15＝70个．答案：708．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________种．解析：根据题意，每级台阶最多站2人，所以，分两类：第一类，有2人站在同一级台阶，共有C23A27种不同的站法；第二类，一级台阶站1人，共有A37种不同的站法．根据分类计数原理，得共有C23A27＋A37＝336种不同的站法．答案：3369．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？解：因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯办法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C36×2×2×2＝160(种)．10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c是在集合{－3，－2，－1,0，1,2,3,4}中选取的3个不同的元素，求坐标原点在抛物线内部的抛物线有多少条？解：由图形特征分析得知，若a0，开口向上，坐标原点在抛物线内部⇔f(0)＝c0，若a0，开口向下，坐标原点在抛物线内部⇔f(0)＝c0；所以对于抛物线y＝ax2＋bx＋c来讲，坐标原在其内部⇔af(0)＝ac0.确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b.故满足题设的抛物线共有C13C14A22C16＝144条．二、综合能力提升1．某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为()A．720B．768C．810D．816解析：选B根据题意，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，有A47＝840(种)情况，其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加的情况有A44＝24(种)，则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加的情况有840－24＝816(种)；其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻的情况有C14A22A33＝48(种)，则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768(种)．故选B.2．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有________种．解析：先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步计数原理可知共有不同的安排方法C16A25＝120种．答案：1203．某种产品有5件不同的正品，4件不同的次品，现在一件件地进行检测，直到4件次品全部测出为止．若次品恰好在第6次检测时被全部选出，则这样的检测方案有多少种？解：问题相当于从9件产品中取出6件的一个排列，第6位为次品，前五位有其余3件次品.可分三步，先从4件产品中留出1件次品排第6位，有4种方法，再从5件正品中取2件，有C25种方法，再把另3件次品和取出的2件正品排在前5位有A55种方法，所以检测方案种数为4×C25·A55＝4800.4．把n个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”，“再生数”中最大的数叫做最大再生数，最小的数叫做最小再生数．(1)求1,2,3,4的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数；(2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数．解：(1)1,2,3,4的再生数的个数为A44＝24，其中最大再生数为4321，最小再生数为1234.(2)需要考查5个数中相同数的个数．若5个数各不相同，有A55＝120(个)；若有2个数相同，则有A55A22＝60(个)；若有3个数相同，则有A55A33＝20(个)；若有4个数相同，则有A55A44＝5(个)；若5个数全相同，则有1个．