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课时跟踪检测(十九)计数应用题[课下梯度提能]一、基本能力达标1.某药品研究所研制了5种消炎药a1,a2,a3,a4,a5,4种退烧药b1,b2,b3,b4,现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验,但又知a1,a2两种药必须同时使用,且a3,b4两种药不能同时使用,则不同的实验方案共有()A.56种B.28种C.21种D.14种解析:选D分3类:当取a1,a2时,再取退烧药有C14种方案;取a3时,取另一种消炎药的方法有C12种,再取退烧药有C13种,共有C12C13种方案;取a4,a5时,再取退烧药有C14种方案.故共有C14+C12C13+C14=14(种)不同的实验方案.2.将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校,要求每所学校至少有1个名额,且各校分配的名额互不相等,则不同的分配方法种数为()A.96B.114C.128D.136解析:选B由题意可得每所学校至少有1个名额的分配方法种数为C217=136,分配名额相等有22种(可以逐个数),则满足题意的方法有136-22=114(种).3.将5名同学分成甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人,乙、丙组至少各一人,则不同分组方案的种数为()A.180B.120C.80D.60解析:选C由题意可得不同的组合方案种数为C25C23A22+C35C12=80.4.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架歼15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有()A.12种B.18种C.24种D.48种解析:选C把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列,调整甲、乙,共有A22·A22种方法,再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中,有A23种方法,由分步乘法计数原理可得总的方法种数为A22·A22·A23=24.5.12名同学合影,站成了前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是()A.C28A23B.C26A66C.C28A25D.C28A26解析:选D第一步可先从后排8人中选2人共有C28种;第二步可认为前排放6个座位,先选出2个座位让后排的2人坐,由于其他人的顺序不变,所以有A26种坐法.综上知“不同”调整方法的种数为C28A26.6.甲组有男同学5名,女同学3名,乙组有6名男同学,2名女同学,从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有________种.解析:第一类,选出的1名女生出自甲组,选法为C15C13C26=225(种);第二类,1名女生出自乙组,选法为C25C16C12=120(种).共有225+120=345(种).答案:3457.有两条平行直线a和b,在直线a上取4个点,直线b上取5个点,以这些点为顶点作三角形,这样的三角形共有________个.解析:分两类,第一类:从直线a上任取一个点,从直线b上任取两个点,共有C14·C25种方法;第二类:从直线a上任取两个点,从直线b上任取一个点共有C24·C15种方法.∴满足条件的三角形共有C14·C25+C24·C15=70个.答案:708.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是________种.解析:根据题意,每级台阶最多站2人,所以,分两类:第一类,有2人站在同一级台阶,共有C23A27种不同的站法;第二类,一级台阶站1人,共有A37种不同的站法.根据分类计数原理,得共有C23A27+A37=336种不同的站法.答案:3369.有一排8个发光二极管,每个二极管点亮时可发出红光或绿光,若每次恰有3个二极管点亮,但相邻的两个二极管不能同时点亮,根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息,求这排二极管能表示的信息种数共有多少种?解:因为相邻的两个二极管不能同时点亮,所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上,共有C36种亮灯办法.然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2=8(种)方法,所以这排二极管能表示的信息种数共有C36×2×2×2=160(种).10.已知抛物线y=ax2+bx+c的系数a,b,c是在集合{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中选取的3个不同的元素,求坐标原点在抛物线内部的抛物线有多少条?解:由图形特征分析得知,若a0,开口向上,坐标原点在抛物线内部⇔f(0)=c0,若a0,开口向下,坐标原点在抛物线内部⇔f(0)=c0;所以对于抛物线y=ax2+bx+c来讲,坐标原在其内部⇔af(0)=ac0.确定抛物线时,可先定一正一负的a和c,再确定b.故满足题设的抛物线共有C13C14A22C16=144条.二、综合能力提升1.某校举办了“祖国,你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加,要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加,且当这3名学生都参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻,那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为()A.720B.768C.810D.816解析:选B根据题意,在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛,有A47=840(种)情况,其中甲、乙、丙都没有参加,即选派其他四人参加的情况有A44=24(种),则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加的情况有840-24=816(种);其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻的情况有C14A22A33=48(种),则满足题意的朗诵顺序有816-48=768(种).故选B.2.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有________种.解析:先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),任选一种为C16,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A25种,按照分步计数原理可知共有不同的安排方法C16A25=120种.答案:1203.某种产品有5件不同的正品,4件不同的次品,现在一件件地进行检测,直到4件次品全部测出为止.若次品恰好在第6次检测时被全部选出,则这样的检测方案有多少种?解:问题相当于从9件产品中取出6件的一个排列,第6位为次品,前五位有其余3件次品.可分三步,先从4件产品中留出1件次品排第6位,有4种方法,再从5件正品中取2件,有C25种方法,再把另3件次品和取出的2件正品排在前5位有A55种方法,所以检测方案种数为4×C25·A55=4800.4.把n个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”,“再生数”中最大的数叫做最大再生数,最小的数叫做最小再生数.(1)求1,2,3,4的再生数的个数,以及其中的最大再生数和最小再生数;(2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数.解:(1)1,2,3,4的再生数的个数为A44=24,其中最大再生数为4321,最小再生数为1234.(2)需要考查5个数中相同数的个数.若5个数各不相同,有A55=120(个);若有2个数相同,则有A55A22=60(个);若有3个数相同,则有A55A33=20(个);若有4个数相同,则有A55A44=5(个);若5个数全相同,则有1个.
本文标题:(江苏专用)2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测(十九)计数应用题 苏教版选修2-3
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