（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 习题课（一）导数及其应用 苏教版选

习题课（一）导数及其应用1．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1解析：选A由f′(x)＝2x＋a，得f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1，故选A.2．已知函数f(x)＝13x3－12x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为()A.－∞，14B.－∞，14C.14，＋∞D.14，＋∞解析：选A由题意得f′(x)＝x2－x＋c，若函数f(x)有极值，则Δ＝1－4c＞0，解得c＜14.3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A．(2,3)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，3)解析：选B因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0，解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．4．曲线y＝x＋13x3在点1，43处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为()A．3B．2C.13D.19解析：选Dy′＝1＋x2，故切线的斜率k＝f′(1)＝2，又切线过点1，43，∴切线方程为y－43＝2(x－1)，即y＝2x－23，切线和x轴，y轴的交点分别为13，0，0，－23.故所求三角形的面积为12×13×23＝19，故选D.5．函数y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值为()A．eB．1C．－1D．－e解析：选C函数y＝lnx－x的定义域为(0，＋∞)，又y′＝1x－1＝1－xx，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′0，函数单调递增；当x∈(1，e)时，y′0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1，故选C.6．已知函数f(x)＝－13x3＋2x2＋2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是()A．[6，＋∞)B．(－∞，2]C．[2,6]D．[5,6]解析：选Cf′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6，因为x0∈[0,3]，所以f′(x0)∈[2,6]，又因为切线与直线x＋my－10＝0垂直，所以切线的斜率为m，所以m的取值范围是[2,6]．7．曲线y＝cosxx在点Mπ2，0处的切线方程为________．解析：∵y′＝cosxx′＝－xsinx－cosxx2，∴切线的斜率k＝y′x＝π2＝－2π.∴所求切线的方程为y－0＝－2πx－π2，即y＝－2πx＋1.答案：y＝－2πx＋18．(2018·江苏高考)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．解析：法一：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(x0)．①当a≤0时，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝1，∴f(x)在(0，＋∞)上无零点．②当a0时，由f′(x)0，得xa3；由f′(x)0，得0xa3，∴f(x)在0，a3上单调递减，在a3，＋∞上单调递增．又f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，∴fa3＝－a327＋1＝0，∴a＝3.此时f(x)＝2x3－3x2＋1，f′(x)＝6x(x－1)，当x∈[－1,1]时，f(x)在[－1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减．又f(1)＝0，f(－1)＝－4，∴f(x)max＋f(x)min＝f(0)＋f(－1)＝1－4＝－3.法二：令f(x)＝2x3－ax2＋1＝0，得a＝2x3＋1x2＝2x＋1x2.令g(x)＝2x＋1x2，则g′(x)＝2－2x3.由g′(x)0，得0x1；由g′(x)0，得x1，∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∵f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，∴a＝g(1)＝3，此时f(x)＝2x3－3x2＋1，f′(x)＝6x(x－1)，当x∈[－1,1]时，f(x)在[－1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减．又f(1)＝0，f(－1)＝－4，∴f(x)max＋f(x)min＝f(0)＋f(－1)＝1－4＝－3.答案：－39．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1＜2＜x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a＜6.答案：(2,6)10．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2＋4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x－3.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极小值．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x＋4.∵曲线在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x－3.∴f(0)＝－3，f′(0)＝2，∴b＝－3，a＋b＋4＝2，解得a＝1，b＝－3.(2)由(1)，知f(x)＝ex(x－3)－x2＋4x，f′(x)＝ex(x－2)－2x＋4＝(x－2)(ex－2)．令f′(x)＝0，得x＝ln2或x＝2.∴当x∈(－∞，ln2)∪(2，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(ln2,2)时，f′(x)0，故f(x)在(－∞，ln2)，(2，＋∞)上单调递增，在(ln2,2)上单调递减．∴当x＝2时，函数f(x)取得极小值，且极小值为f(2)＝4－e2.11．某工厂某种产品的年产量为1000x吨，其中x∈[20,100]，需要投入的成本为C(x)(单位：万元)，当x∈[20,80]时，C(x)＝12x2－30x＋500；当x∈(80,100]时，C(x)＝20000x.若每吨商品售价为lnxx万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于x的函数关系式；(2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？解：(1)由题意，知L(x)＝1000lnx－C(x)＝1000lnx－12x2－30x＋500，x∈[20，80]，1000lnx－20000x，x∈80，100].(2)当x∈[20,80]时，L′(x)＝－x－50x＋20x，由L′(x)≥0，得20≤x≤50；由L′(x)≤0，得50≤x≤80，∴L(x)在[20,50]上单调递增，在[50,80]上单调递减，∴当x＝50时，L(x)max＝1000ln50－250；当x∈(80,100]时，L(x)＝1000lnx－20000x单调递增，∴L(x)max＝1000ln100－2000.∵1000ln50－250－(1000ln100－2000)＝1750－1000ln21750－10000，∴当x＝50，即年产量为50000吨时，利润最大，最大利润为(1000ln50－250)万元．12．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的导函数为h(x)，f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为3x－y＋4＝0，且h′－23＝0，又直线y＝x是函数g(x)＝kxex的图象的一条切线．(1)求函数f(x)的解析式及k的值；(2)若f(x)≤g(x)－m＋1对于任意x∈[0，＋∞)恒成立，求m的取值范围．解：(1)由f(x)＝ax3＋bx2＋cx，可知h(x)＝f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由f(x)在(－2，f(－2))处的切线方程为3x－y＋4＝0可知，f(－2)＝－8a＋4b－2c＝－2，①f′(－2)＝12a－4b＋c＝3，②又由h′(x)＝6ax＋2b可知，h′－23＝－4a＋2b＝0，③由①②③，解得a＝12，b＝1，c＝1，即f(x)的解析式为f(x)＝12x3＋x2＋x.由题意，g(x)＝kxex与y＝x相切可知函数在原点或(－lnk，－lnk)处切线斜率为1.因为g′(x)＝k(ex＋xex)，所以g′(0)＝k＝1或g′(－lnk)＝1，得k＝1.综上可得k的值为1.(2)若f(x)≤g(x)－m＋1对任意x∈[0，＋∞)恒成立，即12x3＋x2＋x≤xex－m＋1恒成立，则m－1≤xex－12x3－x2－x恒成立．设t(x)＝xex－12x3－x2－x＝xex－12x2－x－1，令p(x)＝ex－12x2－x－1，p′(x)＝ex－x－1，再令φ(x)＝ex－x－1，φ′(x)＝ex－1＝0，解得x＝0.所以当x∈[0，＋∞)时，φ′(x)≥0，所以φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以φ(x)≥φ(0)＝0，即p′(x)≥0，所以p(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以p(x)≥p(0)＝0，所以当x∈[0，＋∞)时，t(x)≥0恒成立，且t(0)＝0，因此只需m－1≤0即可，则m≤1.所以m的取值范围为(－∞，1]．