（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（三十一）数列求和 文（含解析）苏教版

课时跟踪检测（三十一）数列求和一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·镇江调研)已知{}an是等差数列，Sn为其前n项和，若a3＋a7＝8，则S9＝_______.解析：在等差数列{}an中，由a3＋a7＝8，得a1＋a9＝8，所以S9＝a1＋a92＝8×92＝36.答案：362．数列{1＋2n－1}的前n项和为________．解析：由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋1－2n1－2＝n＋2n－1.答案：n＋2n－13．数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为________．解析：根据题意有S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100.答案：1004．(2018·泰州期末)已知数列{}an的通项公式为an＝n·2n－1，前n项和为Sn，则Sn＝________.解析：∵an＝n·2n－1，∴Sn＝1×1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，2Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，两式相减可得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝1－2n1－2－n·2n，化简可得Sn＝(n－1)2n＋1.答案：(n－1)2n＋15．已知等比数列{}an的公比q＞1，且a5－a1＝30，a4－a2＝12，则数列anan－an＋1－的前n项和为________．解析：因为a5－a1＝30，a4－a2＝12，所以a1(q4－1)＝30，a1(q3－q)＝12，两式相除，化简得2q2－5q＋2＝0，解得q＝12或2，因为q＞1，所以q＝2，a1＝2.所以an＝2·2n－1＝2n.所以anan－an＋1－＝2nn－n＋1－＝12n－1－12n＋1－1，所以Tn＝1－13＋13－17＋…＋12n－1－12n＋1－1＝1－12n＋1－1.答案：1－12n＋1－16．若数列{an}满足an－(－1)nan－1＝n(n≥2)，Sn是{an}的前n项和，则S40＝________.解析：当n＝2k时，即a2k－a2k－1＝2k，①当n＝2k－1时，即a2k－1＋a2k－2＝2k－1，②当n＝2k＋1时，即a2k＋1＋a2k＝2k＋1，③①＋②得a2k＋a2k－2＝4k－1，③－①得a2k＋1＋a2k－1＝1，S40＝(a1＋a3＋a5＋…＋a39)＋(a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a40)＝1×10＋(7＋15＋23＋…＋79)＝10＋＋2＝440.答案：440二保高考，全练题型做到高考达标1．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝________.解析：依题意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2，所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝n＋2n2＝n2＋n.答案：n2＋n2．已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a2，则|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝________.解析：由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，所以bn＝(－3)×(－4)n－1，所以|bn|＝3×4n－1，即{|bn|}是以3为首项，4为公比的等比数列．所以|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝－4n1－4＝4n－1.答案：4n－13．已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16＝________.解析：根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数列重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.答案：74．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，数列{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.解析：因为an＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n－2＋2＝2n，所以Sn＝2－2n＋11－2＝2n＋1－2.答案：2n＋1－25．(2019·宿迁调研)已知数列{}an中，a1＝1，a2＝3，若an＋2＋2an＋1＋an＝0对任意n∈N*都成立，则数列{}an的前n项和Sn＝________.解析：∵a1＝1，a2＝3，an＋2＋2an＋1＋an＝0，∴an＋2＋an＋1＝－(an＋1＋an)，a2＋a1＝4.则数列{}an＋1＋an是首项为4，公比为－1的等比数列，∴an＋1＋an＝4×(－1)n－1.当n＝2k－1时，a2k＋a2k－1＝4×(－1)2k－2＝4.∴Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2k－1＋a2k)＝4k＝2n.当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝－4.Sn＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2k－2＋a2k－1)＝1－4×(k－1)＝5－4k＝5－4×n＋12＝3－2n.∴Sn＝3－2n，n为奇数，2n，n为偶数.答案：3－2n，n为奇数，2n，n为偶数6．在等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝2，若某学生对其中连续10项进行求和，在漏掉一项的前提下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为________．解析：由已知条件可得数列{an}的通项公式an＝2n＋1，设连续10项为ai＋1，ai＋2，ai＋3，…，ai＋10，i∈N，设漏掉的一项为ai＋k,1≤k≤10，由ai＋1＋ai＋102－ai＋k＝185，得(2i＋3＋2i＋21)×5－2i－2k－1＝185，即18i－2k＝66，即9i－k＝33，所以34≤9i＝k＋33≤43,3＜349≤i≤439＜5，所以i＝4，此时，由36＝33＋k得k＝3，所以ai＋k＝a7＝15，故此连续10项的和为200.答案：2007．(2019·邵阳模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A，B，C，D，E五人分5钱，A，B两人所得与C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．在这个问题中，E分得________钱．解析：由题意，设A所得为a－4d，B所得为a－3d，C所得为a－2d，D所得为a－d，E所得为a，则5a－10d＝5，2a－7d＝3a－3d，解得a＝23，故E分得23钱．答案：238．已知数列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，则{an}的前100项和为________．解析：由a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，得a2n＋a2n＋1＝n＋1，所以a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99)＝2＋2＋3＋…＋50＝1276，因为a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25)＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6)＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13，所以a1＋a2＋…＋a100＝1276＋13＝1289.答案：12899．(2018·苏北四市期末)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a，(an＋1)(an＋1＋1)＝6(Sn＋n)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若对于∀n∈N*，都有Sn≤n(3n＋1)成立，求实数a的取值范围．解：(1)当n＝1时，(a1＋1)(a2＋1)＝6(S1＋1)，故a2＝5.当n≥2时，(an－1＋1)(an＋1)＝6(Sn－1＋n－1)，所以(an＋1)(an＋1＋1)－(an－1＋1)(an＋1)＝6(Sn＋n)－6(Sn－1＋n－1)，即(an＋1)(an＋1－an－1)＝6(an＋1)．又an＞0，所以an＋1－an－1＝6，所以a2k－1＝a＋6(k－1)＝6k＋a－6，a2k＝5＋6(k－1)＝6k－1，故an＝3n＋a－3，n为奇数，3n－1，n为偶数.(2)当n为奇数时，Sn＝12(3n＋a－2)(n＋1)－n，由Sn≤n(3n＋1)，得a≤3n2＋3n＋2n＋1恒成立，令f(n)＝3n2＋3n＋2n＋1，则f(n＋1)－f(n)＝3n2＋9n＋4n＋n＋＞0，所以a≤f(1)＝4.当n为偶数时，Sn＝12n(3n＋a＋1)－n，由Sn≤n(3n＋1)得，a≤3(n＋1)恒成立，所以a≤9.又a1＝a＞0，所以实数a的取值范围是(0,4]．10．(2019·宿迁中学调研)已知各项均为正数的数列{an}的首项a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝λanan＋1(λ≠0，n∈N*)．(1)若a1，a2，a3成等比数列，求实数λ的值；(2)若λ＝12，求Sn.解：(1)令n＝1，得a2＝21＋λ.令n＝2，得a2S3－a3S2＋a2－a3＝λa2a3，所以a3＝2λ＋4λ＋λ＋.由a22＝a1a3，得21＋λ2＝2λ＋4λ＋λ＋，因为λ≠0，所以λ＝1.(2)当λ＝12时，anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝12anan＋1，所以Sn＋1an＋1－Snan＋1an＋1－1an＝12，即Sn＋1＋1an＋1－Sn＋1an＝12，所以数列Sn＋1an是以2为首项，12为公差的等差数列，所以Sn＋1an＝2＋(n－1)·12，即Sn＋1＝n2＋32an，①当n≥2时，Sn－1＋1＝n2＋1an－1，②①－②得，an＝n＋32an－n＋22an－1，即(n＋1)an＝(n＋2)an－1，所以ann＋2＝an－1n＋1(n≥2)，所以ann＋2是常数列，且为13，所以an＝13(n＋2).代入①得Sn＝n2＋32an－1＝n2＋5n6.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·启东检测)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝________尺．解析：依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n天大老鼠打洞的距离共为－2n1－2＝2n－1.同理可得前n天小老鼠打洞的距离共为1×1－12n1－12＝2－12n－1，所以Sn＝2n－1＋2－12n－1＝2n－12n－1＋1.答案：2n－12n－1＋12．(2018·苏州高三暑假测试)等差数列{an}的前n项和为Sn，且an－Sn＝n2－16n＋15(n∈N*)，若对任意n∈N*，总有Sn≤Sk，则k的值为________．解析：设等差数列{an}的公差为d，则an－Sn＝a1＋(n－1)d－na1＋nn－2d＝－d2n2＋32d－a1n＋a1－d＝n2－16n＋15，所以－d2＝1，32d－a1＝－16，a1－d＝15，解得a1＝13，d＝－2，所以Sn＝13n＋nn－2×(－2)＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，所以(Sn)max＝S7，所以Sn≤S7对任意n∈N*恒成立，所以k的值为7.答案：73．(2019·南京一模)平面内的“向量列”{an}，如果对于任意的正整数n，均有an＋1－an＝d，则称此“向量列”为“等差向量列”，d称为“公差向量”；平面内的“向量列”{bn}，如果对于任意的正整数n，均有bn＋1＝q·bn(q≠0)，则称此“向量列”为“等比向量列”