初中一对一精品辅导讲义：正弦定理与余弦定理

教学目标1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索2、掌握正弦定理的内容及其证明方法；3、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。重点、难点1、正弦定理的探索和证明及其基本应用。2、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。考点及考试要求1、正弦定理2、余弦定理3、正弦定理、余弦定理的应用教学内容第一课时正弦定理与余弦定理知识点梳理1、ABC中，45,60,10,ABa则b等于（）A52B102C1063D562、在△ABC中，已知8a，B=060，C=075，则b等于A.64B.54C.34D.3223、已知ABC中，cba、、分别是角CBA、、的对边，60,3,2Bba，则A=A.135B.45C.135或45D.904、在△ABC中，abc、、分别是三内角ABC、、的对边,45,75CA,2b=,则此三角形的最小边长为（）A．46B．322C．362D．425、在中，B=，C=，c=1，则最短边长为（）A．B．C．D．ABC304563221232知识梳理课前检测正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinabABsincC（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使sinakA，sinbkB，sinckC；（2）sinsinabABsincC等价于sinsinabAB，sinsincbCB，sinaAsincC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题.在ABC中,已知3a,2b,B=450.求A、C和c.解:004590B且,baA有两解.由正弦定理,得23245sin3sinsin0bBaA0012060AA或1)当A=600时,C=1800-A-B=750,00sin2sin7562sin2sin45bCcB2)当A=1200时,C=1800-A-B=150,00sin2sin1562sin2sin45bCcB（1）定理的表示形式：sinsinabABsincC0sinsinsinabckkABC；或sinakA，sinbkB，sinckC(0)k（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos2bcaAbc，222cos2acbBac，222cos2bacCba从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中，C=090，则cos0C，这时222cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。第二课时正弦定理与余弦定理典型例题题型一：解三角形例1．在ABC中，已知23a，62c，060B，求b及A⑴解：∵2222cosbacacB=22(23)(62)223(62)cos045=212(62)43(31)=8∴22.b求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cos222222(22)(62)(23)1,22222(62)bcaAbc∴060.A解法二：∵sin023sinsin45,22aABb又∵62＞2.41.43.8,23＜21.83.6,∴a＜c，即00＜A＜090,∴060.A评述：解法二应注意确定A的取值范围。变1.在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.题型二：正、余弦定理的边角转化例2．根据所给条件,判断ABC的形状.1）在ABC中，已知7a，5b，3c。2）;coscosBbAa3）CcBbAacoscoscos分析：由余弦定理可知222222222是直角ABC是直角三角形是钝角ABC是钝角三角形是锐角abcAabcAabcAABC是锐角三角形典型例题（注意：是锐角AABC是锐角三角形）1）解：222753，即222abc，∴ABC是钝角三角形。2）解:解法一(化边)由余弦定理得)2()2(coscos222222acbcabbcacbaBbAa0422422bcbaca,0)()(22222bacba022ba或0222bac222cba或ba故ABC是直角三角形或等腰三角形解法二(化角)由;coscosBbAa可得BBRAARcossin2cossin2即BA2sin2sinBA22或,180220BA即BA或A+B=900故ABC是直角三角形或等腰三角形3）解：(化角)解法一:由正弦定理得CAcasinsin,CBcbsinsin代入已知等式得CcCBBcCAAccossincossinsincossin,CCBBAAcossincossincossin即CBAtantantan),0(,,CBACBA故ABC是等边三角形(化边)解法二:由已知等式得CCRBBRAARcossin2cossin2cossin2即CBAtantantan),0(,,CBACBA故ABC是等边三角形变2.在中，分别为内角的对边，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，试判断的形状.题型三：正、余弦定理的应用例3.在中，内角对边的边长分别是，已知，．（I）若的面积等于，求；（II）若，求的面积.ABCabc、、ABC、、2sin(2)sin(2)sinaAbcBcbCAsinsin1BCABCABC△ABC，，abc，，2c3CABC△3ab，sin2sinBAABC△解：（Ⅰ）由题意，得222cos4,31sin3,23ababab即224,4,ababab因为222()3()34()124,abababab所以4,ab由4,4,abab得2.ab（Ⅱ）由得，2ba.由余弦定理得，222212(2)2232aaaaa，∴2343,33ab.∴112343323sin223323ABCSabC变3.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，cosB=35，且ABBC=—21．（I）求△ABC的面积；（II）若a=7，求角C。例4.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（I）求的值；（II）若cosB=，解：（I）由正弦定理，设,sinsinsinabckABC则22sinsin2sinsin,sinsincakCkACAbkBB所以cos2cos2sinsin.cossinACCABB即(cos2cos)sin(2sinsin)cosACBCAB，化简可得sin()2sin().ABBC又ABC，sin2sinBAcosA-2cosC2c-a=cosBbsinsinCA145bABC的周长为，求的长.所以sin2sinCA因此sin2.sinCA（II）由sin2sinCA得2.ca由余弦定得及1cos4B得22222222cos14444.bacacBaaaa所以2.ba又5,abc从而1,a因此b=2。变4.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（I）求的值；（II）若cosB=，b=2，ABC的面积S。第三课时正弦定理与余弦定理课堂检测cosA-2cosC2c-a=cosBbsinsinCA141．在ABC中，AB是sinsinAB的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2、已知关于x的方程22coscos2sin02CxxAB的两根之和等于两根之积的一半，则ABC一定是（）（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形.3、已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.4、如图，在△ABC中，若b=1，c=，，则a=。5、在中，角所对的边分别为a，b，c，若，，，则角的大小为．6、在中，,,abc分别为角,,ABC的对边，且274sincos222BCA（1）求A的度数（2）若3a，3bc，求b和c的值7、在△ABC中已知acosB=bcosA,试判断△ABC的形状.3323CABC,,ABC2a2bsincos2BBA课堂检测CAB13238、如图，在△ABC中，已知3a，2b，B=45求A、C及c.