近世代数证明题

v1.0可编辑可修改11证明题1、设G是群，a∈G，令CG（a）={x|x∈G，xa=ax}，证明：CG（a）≤G2、设G~G，H≤G，H={x|x∈G，f（x）∈H}。证明：H/Kerf≌H.3、证明：模m的剩余类环Zm的每一个理想都是主理想。4、设R=coba，a，b，c∈Z，I=ooxox∈Z。（1）验证R是矩阵环Z2×2的一个子环。（2）证明I是R的一个理想。5、设G是群，u是G的一个固定元，定义“o”：aob=au2b（a，b∈G），证明（G，o）构成一个群.6、设R为主理想整环，I是R的一个理想，证明R/I是域I是由R的一个素元生成的主理想.7、证明：模m的剩余类环Zm的每个子环都是理想.8、设G是群，H≤G。令NG（H）={x|x∈G，xH=Hx}.CG（H）={x|x∈G，h∈H，hx=xh}.证明：（1）NG（H）≤G（2）CG（H）△NG（H）9、证明数域F={a＋b7|a，b∈Q}的自同构群是一个2阶循环群.10、设R是主理想环，I=（a）是R的极大理想，ε是R的单位，证明：εa是R的一个素元.11、设G与G是两个群，G~G，K=Kerf，H≤G，令H={x|x∈G，f(x)∈H}，证明：H≤G且H/K≌H.12、在多项式环Z[x]中，证明：（1）（3，x）={3a0＋a1x＋…＋anxn|ai∈Z}.（2）Z[x]/(3，x)含3个元素.13、设H是群G的子群,令NG(H)={x|xG,xH=Hx},证明NG(H)是G的子群．ffv1.0可编辑可修改2214、在整数环Z中,a,bZ,证明(a,b)是Z的极大理想的充要条件是a,b的最大公因数是一个素数。15、设R=Zcbacba,,0,I=Zxx0020．(1)验证R对矩阵的加法和乘法构成环。(2)证明I是R的一个理想。16、设G是群，令C={x|xG,yG,xy=yx},证明C是G的正规子群。17、在整数环Z中,p,q是不同的素数,证明(p)(q)=(pq),(p,q)=Z。18、若Q是有理数域,证明(x)是Q[x]的极大理想。19、设G=(a)是一无限循环群，证明G的生成元只有两个。20、设G是交换群，证明G中一切有限阶元素组成的集合T是G的一个子群，且TG除单位元之外不含有限阶元素。21、设是质数ppnZnmnmR.1),(,,证明(R,+,)是整环（+,是数的加法与乘法）．22、取定群G的元u,在G中定义新的“o”：aob=1证明（Ｇ，o）是群．23、设A是实数域R上一切三阶方阵关于方阵的加法、乘法作成的环。证明RcbaoocoobooaN111111,,是A的一个左理想。24、证明一个主理想环I的每一非零极大理想都是一个素元所生成的。25、证明循环群的子群也是循环群。26、证明（3，x）是Z[x]的一个极大理想。27、I是一个整环，a,bI,（a），（b），是两个主理想，证明（a）＝（b）的充要条件是a与b相伴。v1.0可编辑可修改3328、设p是一个素数，证明2p阶群G中一定有一个p阶子群N。29、若G是一个群,e是G的单位元,G中任何元都是方程ex2的解，证明G是一个交换群。30、若G是一个循环群,N是G的一个子群,证明GN也是一个循环群.31、证明环R的两个理想的交集仍是R的一个理想。32、设I是一个主理想环,a,bI,d是a是与b的一个最大公因子,证明(a,b)=(d)。33、设G是一个43阶的有限群,证明G的子群只有单位元群及G本身。34、在整数环Z中,证明Z∕(p)是域p为质数(素数)。35、在多项式环Z[X]中,证明(5,X)不是主理想。36、证明群G为交换群)(:1Gxxxf为G到G的一个同构映射。37、设R是一有单位元的交换环，且R只有平凡理想，证明R是域。38、证明阶是素数的群一定是循环群。39、证明在高斯整数环Z[i]={a+bia,bZ,i2=-1}中，3是一个素元。40、设Z是整数环,x是Z上的未定元,证明Z[x]的生成理想。(3,x)={ZnZaxaxaain0,|310},并且剩余类环Zxx[](,)3={[0]，[1]，[2]}。41、证明(5,x)不是Z[x]的主理想。42、设G是一个1000阶的交换群，a是G的一个100阶元，证明10ZaG。43、证明整数环Z到自身的所有同态映射为零同态和恒等同态。44、设22F是有理数域上的二阶方阵环，证明22F只有零理想和单位理想，但22F不是一个除环。45、设G是群，f：G→G，aa2,(Ga)证明f是群G的自同态G是交换群。46、设G=｛（a,b）|a,b|R,0a｝，在G上定义“”：(a,b)),(),(badacdc证明（G，）构成一个群。v1.0可编辑可修改4447、设G是有限交换群，f：GG,f(g)=gk(gG)证明fAut(G)(k,|G|)=1。48、设G是100阶的有限交换群，f:GG,f(g)=g49(gG),证明fAut(G)。49、设AG,BG如果存在a,bG,使得Aa=Bb,则A=B。50、设G是交换群，m是固定的整数，令H=｛a|aG,am=e｝，证明HG。51、设HG,令CG(H)=｛g|gG,hH,gh=hg｝，证明CG(H)G。52、设G是非空有限集合，“”是G的一个二元运算，“”适合结合律及左、右消去律，证明：(G,)构成一个群，当G是无限集时呢53、设G是2000阶的交换群，HG,|H|=200，证明：HG是一个循环群。54、证明：无限循环群的生成元的个数只有两个。反之，一个循环群G的生成元只有两个，则G是否一定同构于Z55、设G是一个循环群，|G|3,4,G的生成元的个数为2，证明GZ。56、设G是有限群，HG,aG,证明存在最小正整数m,使amH,且m|a。57、设G是奇阶群，则对任意gG,存在唯一元xG,使g=x2。58、证明：整数加群Z与偶数加群2Z同构。59、设HG,g是G的一个固定元素，gHg-1=｛ghg-1|hH｝（1）证明:gHg-1G。（2）证明:H1gHg。60、设G=QbaabbaHQbaba,|2,,|2，G对复数的加法构成群，H对矩阵的加法也构成群，证明：GH。61、设H是群G的非空子集,且H中元的阶都有限，证明：HGHH2。62、设NG,|G/N|=10,gG,|g|=12,证明:g2N。63、设G是群，a,bG,ab=ba,|a|=m,|b|=n,a∩b=｛e｝.证明：|ab|=[m,n]([m,n]是m,n的最小公倍数)。v1.0可编辑可修改5564、设是一个n次置换，集合X=｛1,2,3,…,n｝，在X中，规定关系“~”为k~lZr,使r(k)=l.证明：“~”是X上的一个等价关系。65、设K=｛(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)｝证明：KS4。66、设G是群，HG,规定关系“~”a~bGbaHab,,1证明：~是G的一个等价关系，且a所在的等价类[a]=Ha。67、证明：15阶群至多含有一个5阶子群。68、设HG,若H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，证明HG。69、设NG,[G:N]=2004,证明：对Gx,恒有Nx2004。70、设NG,[G:N]=4,证明：存在MG,且[G:M]=2。71、设H，NG,3||,2||,,,baNbHaeNH证明：|ab|=6。72、设HG,证明：HG,,Gba如果由HbaHab。73、设k|m,证明:kmZkZ。74、群G的非平凡子群N称为G的极小子群，如果不存在子群B使得NBe,证明：整数加群Z没有极小子群。75、如果)(GCG是循环群，证明：G是交换群（其中C(G)是群G的中心）。76、证明：6阶交换群是循环群。举例说明6阶群不一定是循环群。77、证明：在一个有单位元的环R中，全体可逆元组成的集合对R的乘法构成一个群。78、设R为环，如果每个元素Ra都满足a2=a，证明R为交换环。79、环R中元素a称作幂零的，是指存在正整数m，使得am=0，证明：当R为交换环时，两个幂零元素之和，两个幂零元素之积都为幂零元素。80、设R和_R都是含单位元的环，RR01，f是R到_R的满同态，证明：（1）f(1R)=R1；（2）如果a是R的单位，则f(a)是_R的单位。v1.0可编辑可修改6681、设RyxyxA,|00证明：A是关于矩阵的加法和乘法构成一个无单位元的环。82、证明：一个具有素数个元素的环是交换环。83、设R是一个有单位元1R的无零因子环，证明：如果ab=1R则ba=1R84、设R是交换环，X是R的非空子集，令XxrxRrrXAnn,0,|)(证明：Ann(X)是R的理想。85、设R是环，I，J是R的两个理想，令IJxxJRxJI,|:，证明：[I:J]是R的理想。86、设Z)2(,,|22IZbaba证明：IZ]2[是域。87、设R是有单位元的交换环，I是R的真理想，证明：如果R的每个不在I中的元素都可逆，则I是R的唯一的极大理想。88、在Z[x]中，证明(7,x)不是Z[x]的一个主理想。89、设I和J是环R的理想,且满足I+J=R，I∩J=｛0｝证明：JIR。90、证明：整环R的元素之间的相伴关系是一个等价关系。91、在整环ZbabaZ,|3]3[中,证明34是素元。92、设f:RR为环的同态。如果R是除环，求证f是零同态或f是单同态（零同态是指g:RR,Rxx,0）。93、设SRf:是环的满同态。K=Kerf，P是R的素理想，且SPfKP是则)(,的素理想。94、设f:SR是环的满同态，Q是S的素理想，证明：QafRaaQf)(,|)(1是R的素理想。95、设D为整环，m和n为互素的正整数，a,bD如果am=bm,an=bn求证a=b。96、证明：Z[x]不是主理想整环。97、设R为交换环，R2=R,则R的每个极大理想都是素理想。v1.0可编辑可修改7798、设R[x]是实数域R上的一元多项式环，取x2+1R[x]证明：CxxR)1(][2，C为复数域。99、设R是一个主理想整环，p,qR都是素元，且p与q不相伴，证明(p,q)=R。100、设S是环R的子环，I是R的理想，且IS，证明：（1）IRIS是的子环。（2）若S是R的理想，则IRIS是的理想。101、设f是环R到环R的满同态，A为R的理想，证明：RKerfARAf)(。102、设f是群G到群G的满同态，N是G的正规子群，证明：GKerfNGNf)(。103、设R是欧氏环，I是R的一个素理想，证明：I是R的一个极大理想。104、设f是环R的满自同态，R只有有限个理想，证明f是R的一个自同构。105、设H，K,G则对任意a,bG,则HaKb=或HaKb是HK的一个右陪集，该结果能否推广106.方程在复数范围内的三个根关于数的乘法构成群.107.设证明关于矩阵的乘法构成群.108.设是群.证明:如果对任意的,有,则是交换群.109.证明:在群中,如果,则.110.设为加群.证明:任给,,有.v1.0可编辑可修改88111.证明:一个子群的左陪集的所有元素的逆元素组成这个子群的一个右陪集。112.设群的子群在中的指数为2.证明:,.113.设为群,是的子群.证明:中每个元素属于且属于的一个左陪集.114.设是群,是的子群,.则是的子群.115.设是群,是的非空子集.证明:中与中每个元素都可交换的元素全体是的子群.116.设.证明:是的