（安徽专版）2018年秋九年级数学下册 小专题（二）与圆的基本性质有关的解答题习题 （新版）沪科版

1小专题（二）与圆的基本性质有关的解答题（中考中常出现与圆的基本性质相关的解答题，难度中等，有时会与动点结合．）1．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.（1）求证：BD＝CD；（2）若⊙O的半径为3，求BC︵的长．解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCB＋∠BAD＝180°.∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°－105°＝75°.∵∠DBC＝75°，∴∠DCB＝∠DBC.∴BD＝CD.（2）∵∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°.由圆周角定理，得BC︵的度数为60°，故BC︵的长为60π×3180＝π.2．如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆上两点，且OD∥AC，OD与BC交于点E.（1）求证：E为BC的中点；（2）若BC＝8，DE＝3，求AB的长度．解：（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠C＝90°.∵OD∥AC，2∴∠OEB＝∠C＝90°.∴OD⊥BC.∴BE＝CE.∴E为BC的中点．（2）设圆的半径为x，则OB＝OD＝x，OE＝x－3，在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，∵BE＝12BC＝4，∴x2＝42＋（x－3）2，解得x＝256.∴AB＝2x＝253.3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，C为BM︵的中点．（1）求证：CB∥MD；（2）若BC＝4，AB＝6，求BN的长．解：（1）证明：∵CD⊥AB，∴BC︵＝BD︵.∵C为BM︵的中点，∴BC︵＝CM︵.∴BD︵＝CM︵.∴∠CBM＝∠M.∴CB∥MD.（2）连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵CD⊥AB，∴∠BNC＝90°，BD︵＝BC︵.∴∠BCD＝∠BAC.3∴△BCN∽△BAC.∴BNBC＝BCAB，即BN4＝46.∴BN＝83.4．（2017·安徽）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆⊙O于点E，连接AE.（1）求证：四边形AECD为平行四边形；（2）连接CO，求证：CO平分∠BCE.证明：（1）由圆周角定理得∠B＝∠E，又∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠D.∵CE∥AD，∴∠D＋∠ECD＝180°.∴∠E＋∠ECD＝180°.∴AE∥CD.∴四边形AECD为平行四边形．（2）过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥CE于点N，∵四边形AECD为平行四边形，∴AD＝CE.又∵AD＝BC，∴CE＝CB.∴OM＝ON.又∵OM⊥BC，ON⊥CE，∴CO平分∠BCE.5．（2018·宜昌）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．解：（1）证明：∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC.4∴CE＝BE.又∵EF＝AE，∴四边形ABFC是平行四边形．又∵AB＝AC，∴四边形ABFC是菱形．（2）∵AD＝7，BE＝CE＝2，∴设CD＝x，则AB＝AC＝7＋x，BC＝4.连接BD，∵AB为半圆的直径，∴∠ADB＝90°.∴AB2－AD2＝CB2－CD2，即（7＋x）2－72＝42－x2.解得x1＝1，x2＝－8（舍去）．∴BD＝15.∴S半圆＝12×π×42＝8π，S菱形＝8×15＝815.6．（2015·安徽中考变式）已知⊙O的直径AB＝12，点C是圆上一点，且∠ABC＝30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D.（1）如图1，当PD∥AB时，求PD的长；（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．解：（1）连接OD.∵直径AB＝12，∴OB＝OD＝6.∵PD⊥OP，∴∠DPO＝90°.∵PD∥AB，∴∠DPO＋∠POB＝180°.∴∠POB＝90°.又∵∠ABC＝30°，OB＝6，∴OP＝OB·tan30°＝23.∵在Rt△POD中，PO2＋PD2＝OD2，∴（23）2＋PD2＝62.∴PD＝26.（2）过点O作OH⊥BC，垂足为H.∵OH⊥BC，∴∠OHB＝∠OHP＝90°.∵∠ABC＝30°，OB＝6，5∴OH＝12OB＝3，BH＝OB·cos30°＝33.∵在⊙O中，OH⊥BC，∴CH＝BH＝33.∵BP平分∠OPD，∴∠BPO＝12∠DPO＝45°.∴PH＝OH＝3.∴PC＝CH－PH＝33－3.6