（江苏专用）2020高考数学二轮复习 课时达标训练（十八） 不等式

1课时达标训练(十八)不等式A组——抓牢中档小题1．当x＞0时，f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解析：因为x＞0，所以f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．答案：12．(2019·苏北三市一模)已知a0，b0，且a＋3b＝1b－1a，则b的最大值为________．解析：a＋3b＝1b－1a可化为1b－3b＝a＋1a≥2，即3b2＋2b－1≤0，解得0b≤13，所以b的最大值为13.答案：133．已知点A(a，b)在直线x＋2y－1＝0上，则2a＋4b的最小值为________．解析：由题意可知a＋2b＝1，则2a＋4b＝2a＋22b≥22a＋2b＝22，当且仅当a＝2b＝12，即a＝12且b＝14时等号成立．答案：224．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－40，所以a＝2时不等式恒成立，当a－2≠0，即a≠2时，由题意得a－20，Δ0，即a－20，4（a－2）2＋16（a－2）0，解得－2a2.综上所述，－2a≤2，即实数a的取值范围是(－2，2]．答案：(－2，2]5．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．2解析：设底面矩形的一边长为x.由容器的容积为4m3，高为1m，得另一边长为4xm.记容器的总造价为y元，则y＝4×20＋2x＋4x×1×10＝80＋20x＋4x≥80＋20×2x·4x＝160，当且仅当x＝4x，即x＝2时等号成立．因此，当x＝2时，y取得最小值160，即容器的最低总造价为160元．答案：160元6．已知a0,b0，且2a＋3b＝ab，则ab的最小值是________．解析：因为ab＝2a＋3b≥22a·3b，所以ab≥26，当且仅当2a＝3b＝6时取等号．答案：267．已知关于x的不等式2x＋2x－a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：因为x∈(a，＋∞)，所以2x＋2x－a＝2(x－a)＋2x－a＋2a≥22（x－a）·2x－a＋2a＝4＋2a，当且仅当x－a＝1时等号成立．由题意可知4＋2a≥7，解得a≥32，即实数a的最小值为32.答案：328．若两个正实数x，y满足1x＋4y＝1，且不等式x＋y4m2－3m有解，则实数m的取值范围是________．解析：由题可知，1＝1x＋4y≥24xy＝4xy，即xy≥4，于是有m2－3mx＋y4≥xy≥4，故m2－3m4，化简得(m＋1)(m－4)0，解得m－1或m4，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)9．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是________．3解析：因为f(x)＝x2＋mx－1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，只需f（m）＜0，f（m＋1）＜0，即m2＋m2－10，（m＋1）2＋m（m＋1）－10，解得－22＜m＜22，－32＜m＜0，所以－22m0，即实数m的取值范围是m∈－22，0.答案：－22，010．(2018·苏北四市期末)若实数x，y满足xy＋3x＝30x12，则3x＋1y－3的最小值为________．解析：因为实数x，y满足xy＋3x＝30＜x＜12，所以x＝3y＋3∈0，12，解得y＞3.则3x＋1y－3＝y＋3＋1y－3＝y－3＋1y－3＋6≥2（y－3）·1y－3＋6＝8，当且仅当x＝37，y＝4时取等号．答案：811．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sinαsinβ，则tanα的最大值是________．解析：由cos(α＋β)＝sinαsinβ，得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαsinβ，即cosαcosβ＝sinαsinβ＋1sinβ，由α，β均为锐角得cosα≠0，tanβ0，所以tanα＝sinαcosα＝cosβsinβ＋1sinβ＝sinβcosβsin2β＋1＝tanβ2tan2β＋1＝12tanβ＋1tanβ≤122＝24，4当且仅当2tanβ＝1tanβ，即tanβ＝22时，等号成立．答案：2412．(2019·湖北宜昌模拟)已知x，y满足不等式组2y－x≥0，x＋y－3≤0，2x－y＋3≥0，若不等式ax＋y≤7恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：x，y满足不等式组2y－x≥0，x＋y－3≤0，2x－y＋3≥0的平面区域如图所示，由于对任意的实数x，y，不等式ax＋y≤7恒成立，设z＝ax＋y，根据图形，当a≥0时，z＝ax＋y的最优解为A(2，1)，可得2a＋1≤7，解得0≤a≤3；当a0时，z＝ax＋y的最优解为B(－2，－1)，则－2a－1≤7，解得－4≤a＜0，则实数a的取值范围是[－4，3]．答案：[－4，3]13．设实数x，y满足x24－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是________．解析：法一：因为x24－y2＝1，所以3x2－2xy＝3x2－2xyx24－y2＝3－2yx14－yx2，令k＝yx∈－12，12，则3x2－2xy＝3－2k14－k2＝4（3－2k）1－4k2，再令t＝3－2k∈(2，4)，则k＝3－t2，5故3x2－2xy＝4t－t2＋6t－8＝4－t＋8t＋6≥46－28＝6＋42，当且仅当t＝22时等号成立．法二：因为x24－y2＝1＝x2＋yx2－y，所以令x2＋y＝t，则x2－y＝1t，从而x＝t＋1t，y＝12t－1t，则3x2－2xy＝6＋2t2＋4t2≥6＋42，当且仅当t2＝2时等号成立．答案：6＋4214．已知函数f(x)＝x2－x＋3，x≤1，x＋2x，x1.设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥x2＋a在R上恒成立，则a的取值范围是________．解析：根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示．当x≤1时，若要f(x)≥x2＋a恒成立，结合图象，只需x2－x＋3≥－x2＋a，即x2－x2＋3＋a≥0，故对于方程x2－x2＋3＋a＝0，Δ＝－122－4(3＋a)≤0，解得a≥－4716；当x1时，若要f(x)≥x2＋a恒成立，结合图象，只需x＋2x≥x2＋a，即x2＋2x≥a.又x2＋2x≥2，当且仅当x2＝2x，即x＝2时等号成立，所以a≤2.综上，a的取值范围是－4716，2.答案：－4716，2B组——力争难度小题1．已知函数f(x)＝ax2＋x，若当x∈[0，1]时，－1≤f(x)≤1恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：当x＝0时，f(x)＝0，不等式成立；当x∈(0，1]时，不等式－1≤f(x)≤1，即ax2＋x≤1，ax2＋x≥－1，其中1x∈[1，＋∞)，6从而a≤1x2－1x＝1x－122－14，a≥－1x2－1x＝－1x＋122＋14，解得－2≤a≤0.答案：[－2，0]2．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，sin2C＋3cos(A＋B)＝0且c＝13，a＞c，a＋b＝5.则△ABC的面积是________．解析：由sin2C＋3cos(A＋B)＝0且A＋B＋C＝π，得2sinCcosC－3cosC＝0，所以cosC＝0或sinC＝32.由c＝13，a＞c得，cosC＝0不成立，所以sinC＝32，所以C＝π3，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab＝13，所以ab＝4，故S△ABC＝12absinC＝12×4×32＝3.答案：33．(2019·湖南长沙岳麓区模拟)若圆A：(x－1)2＋(y－4)2＝a上至少存在一点P落在不等式组－x＋y－1≥0，3x－y－1≥0，x＋y－7≤0表示的平面区域内，则实数a的取值范围是________．解析：作出不等式组－x＋y－1≥0，3x－y－1≥0，x＋y－7≤0表示的平面区域，如图，圆A与不等式组－x＋y－1≥0，3x－y－1≥0，x＋y－7≤0表示的平面区域有交点．因为圆A的圆心(1，4)到直线3x－y－1＝0的距离为|3－4－1|32＋1＝105，联立方程可得B(3，4)，D(1，2)，则圆心A与可行域内的点的距离的最大值为|AB|＝|AD|＝2，所以105≤a≤2，即实数a的取值范围是25，4.7答案：25，44．如图是某斜拉式大桥的部分平面结构模型，其中桥塔AB，CD与桥面AC垂直，且AB＝1m，CD＝2m，AC＝7m．P为AC上的一点，则当∠BPD达到最大时，AP的长度为________m.解析：设AP＝xm(0≤x≤7)，则PC＝(7－x)m，所以tan∠BPD＝tan(∠ABP＋∠PDC)＝tan∠ABP＋tan∠PDC1－tan∠ABP·tan∠PDC＝x＋7－x21－x·7－x2＝x＋7x2－7x＋2.令x＋7＝t，7≤t≤14，则tan∠BPD＝tt2－14t＋49－7t＋49＋2＝tt2－21t＋100＝1t＋100t－21，故当t＝100t，即t＝10时，∠BPD最大，此时x＝3，即AP的长度为3m.答案：35．(2018·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．解析：法一：如图，∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，∴12ac·sin120°＝12c×1×sin60°＋12a×1×sin60°，∴ac＝a＋c.∴1a＋1c＝1.∴4a＋c＝(4a＋c)1a＋1c＝ca＋4ac＋5≥2ca·4ac＋5＝9，当且仅当ca＝4ac，即c＝2a时取等号．故4a＋c的最小值为9.8法二：如图，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，则D(1，0)，Ac2，－32c，Ca2，32a.又A，D，C三点共线，∴c2－1－32c＝a2－132a，∴ac＝a＋c.∴1a＋1c＝1.∴4a＋c＝(4a＋c)1a＋1c＝ca＋4ac＋5≥2ca·4ac＋5＝9，当且仅当ca＝4ac，即c＝2a时取等号．故4a＋c的最小值为9.答案：96．已知a1，定义f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，如果对任意的n≥2，n∈N*，不等式12f(n)＋7logab7＋7loga＋1b恒成立，则实数b的取值范围是________．解析：由f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，知f(n＋1)＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12（n＋1），所以f(n＋1)－f(n)＝12n＋2＋12n＋1－1n＋1＝1（2n＋2）（2n＋1）0，所以f(n)单调递增，所以当n≥2，n∈N*时，f(n)的最小值为f(2)＝712.要使得对任意的n≥2，n∈N*，不等式12f(n)＋7logab7＋7loga＋1b恒成立，只需满足12×712＋7logab7＋7loga＋1b，即logabloga＋1b，即lgblgalgblg（a＋1），所以lgb×lg（a＋1）－lgalga×lg（a＋1）0.因为a1，所以lg（a＋1）－lgalga×lg（a＋1）0，所以lgb0，故b的取值范围是(1，＋∞)