九年级数学上册 第24章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系

第二十四章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系第二十四章圆24.2.2直线和圆的位置关系考场对接题型一判断直线和圆的位置关系考场对接例题1在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=x+与以点O为圆心,1为半径的圆的位置关系是__________.相切分析如图24-2-32,设直线y=x+与x轴交于点A,与y轴交于点B,则A(-,0),B(0,2),∴OA=OB=,AB=2.过点O作OC⊥AB于点C,根据直角三角形的面积公式,得OA·OB=AB·OC,∴×2OC,∴OC=1,∴圆心O到直线AB的距离与⊙O的半径相等,故直线y=x+和⊙O的位置关系是相切.锦囊妙计判断直线和圆的位置关系的方法(1)根据直线和圆的公共点的个数来判断：当有2个公共点时,直线和圆相交；当只有1个公共点时,直线和圆相切；当没有公共点时,直线和圆相离.(2)根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断：当dr时,直线和圆相交；当d=r时,直线和圆相切；当dr时,直线和圆相离.第二种方法是判断直线和圆的位置关系的常用方法.题型二由直线和圆的位置关系判断半径的取值范围或点到直线的距离例题2如图24-2-33,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5.如果以点C为圆心,r为半径作圆,那么：(1)当直线AB与⊙C相切时,求r的值；(2)当直线AB与⊙C相离时,求r的取值范围.分析直线和圆的位置关(1)直线AB与⊙C相切⇒点C到直线AB的距离d等于⊙C的半径r(2)直线AB与⊙C相离⇒点C到直线AB的距离d大于⊙C的半径r解设点C到直线AB的距离为d.(1)如图24-2-33,过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ABC中,AC=3,AB=5,∴BC=4.由BC·AC=AB·CD,得CD=d=2.4.∵当直线AB与⊙C相切时,d=r,∴r=2.4.(2)由(1)知d=2.4.∵当直线AB与⊙C相离时,d＞r,∴0＜r＜2.4.锦囊妙计根据直线和圆的位置关系求圆的半径的一般步骤(1)过圆心作已知直线的垂线；(2)求出圆心到直线的距离；(3)根据直线和圆的位置关系求出圆的半径的值或取值范围.题型三切线的证明：连半径,证垂直例题3如图24-2-34,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE下方的半圆的中点,连接AD交BC于点F,且AC=FC.求证：AC是⊙O的切线.证明如图24-2-34,连接OA,OD.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵D为BE下方的半圆的中点,∴OD⊥BE,∴∠ODA+∠OFD=90°.∵AC=FC,∴∠FAC=∠AFC.又∵∠OFD=∠AFC,∴∠OFD=∠FAC,∴∠OAD+∠FAC=∠ODA+∠OFD=90°,即∠OAC=90°.又∵OA是⊙O的半径,∴AC是⊙O的切线.锦囊妙计切线的判定方法一——连半径,证垂直证明某直线是圆的切线时,如果已知直线与圆有公共点,那么可作出经过该点的半径,证明直线垂直于该半径,即“有交点,连半径,证垂直”.题型四切线的证明：作垂直,证半径例题4如图24-235,△ABC为等腰三角形,AB=AC,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D.求证：AC与⊙O相切.分析AC与⊙O的交点不明确,所以可过圆心O作OE⊥AC于点E,证明OE的长等于⊙O的半径.证明方法一：如图24-2-35,连接OD,OA,过点O作OE⊥AC于点E.∵AB=AC,O是底边BC的中点,∴OA是∠BAC的平分线.∵⊙O与AB相切于点D,∴OD⊥AB.又∵OE⊥AC,∴OE=OD,即OE是⊙O的半径,∴AC与⊙O相切.证明方法二：如图24-2-35,连接OD,过点O作OE⊥AC于点E,则∠OEC=90°.∵AB切⊙O于点D,∴OD⊥AB,∴∠ODB=90°,∴∠ODB=∠OEC.∵O是BC的中点,∴OB=OC.又∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴△OBD≌△OCE,∴OD=OE,即OE是⊙O的半径,∴AC与⊙O相切.锦囊妙计切线的判定方法二——作垂直,证半径证明某直线是圆的切线时,如果未明确说明直线和圆有公共点,那么常过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于半径,即“无交点,作垂直,证半径”.题型五切线性质的应用例题5如图24-2-36,△ABC的边AC与⊙O相交于C,D两点,且经过圆心O,边AB与⊙O相切,切点为B.如果∠A=34°,那么∠C的度数为().A．28°B．33°C．34°D．56°A分析连接OB,如图24-2-36.∵AB与⊙O相切,∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°,∴∠AOB=90°-∠A=90°-34°=56°,∴∠C=∠AOB=×56°=28°.故选A.例题6如图24-2-37,已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°,过点C的切线PC与AB的延长线交于点P.若⊙O的半径为5,则线段CP的长度是().A．5B．5C．10D．A分析连接OC,如图24-2-37.∵PC为⊙O的切线,∴OC⊥PC.∵∠A=30°,∴∠POC=2∠A=60°,∴在Rt△OCP中,PC=OC=5.故选A.锦囊妙计连半径,构造直角三角形运用切线的性质时,常常连接切点和圆心,构造直角三角形,利用直角三角形的性质与勾股定理解决有关问题.题型六切线长定理的应用例题7如图24-2-38,PA,PB,DE分别切⊙O于点A,B,C,点D在PA上,点E在PB上.(1)若PA=10,求△PDE的周长；(2)若∠P=42°,求∠DOE的度数.解(1)∵PA,PB,DE分别切⊙O于点A,B,C,∴PA=PB,DA=DC,EB=EC,∴△PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20,∴△PDE的周长为20.(2)如图24-2-38,连接OA,OB,OC.∵PA,PB,DE分别切⊙O于点A,B,C,∴OA⊥PA,OB⊥PB,OC⊥DE,∴∠DAO=∠EBO=90°,∴∠P+∠AOB=180°,∴∠AOB=180°-42°=138°.由切线长定理得∠ADO=∠CDO,∠CEO=∠BEO,∴∠AOD=∠COD,∠COE=∠BOE,∴∠DOE=∠AOB=×138°=69°.锦囊妙计切线长定理的计算规律(1)如图24-2-39,PA，PB为⊙O的切线,此图形中含有：①两个等腰三角形(△PAB,△OAB).②一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB).③三个垂直关系(OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB).锦囊妙计(2)如图24-2-40,若△ABC的三边BC,AC,AB的长分别为a,b,c,⊙O是△ABC的内切圆,F,D,E是三个切点,则AD=AE=l-a,BE=BF=l-b,CD=CF=l-c,其中l=a+b+c.题型七三角形内心的应用例题8已知：如图24-2-41,点N为△ABC的内心,延长AN交BC于点D,交△ABC的外接圆于点E.求证：EB=EN=EC.分析证明如图24-2-41,连接BN.∵点N为△ABC的内心,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴EB=EC.∵∠5与∠2都是弧EC所对的圆周角,∴∠5=∠2=∠1,∴∠4+∠5=∠3+∠1.∵∠NBE=∠4+∠5,∠BNE=∠3+∠1,∴∠NBE=∠BNE,∴EB=EN,∴EB=EN=EC.锦囊妙计有关三角形内心的常用辅助线作法解答该类问题时一般有两种作辅助线的方法：一是连接内心与三角形的顶点,即构建出三角形的角平分线；二是连接内心与切点,得到线段垂直的位置关系,再连接内心与三角形的顶点,进而运用直角三角形的相关知识来解答.谢谢观看！