九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法 21.2

第二十一章一元二次方程21.2.3因式分解法*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系第二十一章一元二次方程21.2.3因式分解法*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系考场对接题型一选取适当的方法解一元二次方程考场对接例题1选取适当的方法解方程：(1)9x2-4=0；(2)x2+4x+1=0；(3)x2-4x+4=0；(4)(2x-3)2=(3x-2)2.方程特点适用方法9x2-4=0方程缺少一次项直接开平方法x2+4x+1=0方程为一元二次方程的一般形式,二次项系数为1且一次项系数为偶数公式法或配方法x2-4x+4=0方程左边为完全平方式因式分解法(2x-3)2=(3x-2)2方程两边都是一个式子的平方的形式直接开平方法或因式分解法分析±(3)方程可变形为(x-2)2=0,两边直接开平方,得x-2=0,∴x1=x2=2.(4)移项,得(2x-3)2-(3x-2)2=0,因式分解,得[(2x-3)+(3x-2)][(2x-3)-(3x-2)]=0,即(5x-5)(-x-1)=0,∴5x-5=0或-x-1=0,∴x1=1,x2=-1.锦囊妙计选择适当的方法解一元二次方程直接开平方法和因式分解法适合解特殊的一元二次方程,如缺少一次项的一元二次方程适合用直接开平方法求解；缺少常数项的一元二次方程适合用因式分解法求解.公式法和配方法可解任意的一元二次方程,但当各项系数均为整数且绝对值较小时首选公式法.对于某些含有括号的一元二次方程,不要急于去掉括号,可根据方程的特点,选用因式分解法或直接开平方法求解.题型二已知方程的一个根求另一个根或待定字母的值例题2已知关于x的一元二次方程5x2+kx6=0的一个根是2,求方程的另一个根及k的值.分析求方程的另一个根及k的值方法一：根据根与系数的关系列方程组求解方法二：由根的意义,先求方程中待定字母的值,再解方程-𝟑𝟓解解法一：设方程的另一个根为x1,则解得故方程的另一个根为,k的值为-7.解法二：将x=2代入方程,得5×22+2k-6=0,解得k=-7,所以原方程为5x2-7x-6=0,解得x1=,x2=2.故方程的另一个根为,k的值为-7.x1+2=-𝐤𝟓,2x1=-𝟔𝟓,x1=-𝟑𝟓,k=-7.-𝟑𝟓-𝟑𝟓锦囊妙计已知一元二次方程(含有待定字母)的一个根求另一个根的方法(1)根据一元二次方程的根与系数的关系列二元一次方程组求解；(2)把已知根代入原方程,求出待定字母的值,再解一元二次方程或由根与系数的关系求出它的另一个根.题型三利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值例题3设x1,x2是方程2x2-6x-1=0的两个根,不解方程,求下列各式的值：(1)x12+x22；(2)(x1-x2)2；(3)(𝐱𝟏+𝟏𝐱𝟐)(𝐱𝟐+𝟏𝐱𝟏).分析根据一元二次方程的根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值将每一个代数式都转化为与x1+x2和x1x2相关的形式代入求值(3)(𝐱𝟏+𝟏𝐱𝟐)(𝐱𝟐+𝟏𝐱𝟏)=x1x2+2+𝟏𝐱𝟏𝐱𝟐=-𝟏𝟐+2+𝟏−𝟏𝟐=-𝟏𝟐+2-2=-𝟏𝟐.锦囊妙计常用的代数式变形方法汇总题型四根的判别式和根与系数的关系的综合运用例题4已知关于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+m2-1=0．(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；(2)若方程的两个实数根分别为x1,x2,且满足(x1-x2)2=16-x1x2,求实数m的值．分析(1)方程有实数根⇒判别式Δ=[2(m+1)]2-4(m2-1)≥0⇒实数m的取值范围；(2)x2+2(m+1)x+m2-1=0x1+x2=-2(m+1),x1x2=m2-1x1-x2)2=16-x1x2(x1+x2)2-4x1x2=16-x1x2Δ≥0m的值解(1)根据题意可知Δ=[2(m+1)]2-4(m2-1)≥0,解得m≥-1,∴实数m的取值范围是m≥-1.(2)由根与系数的关系可知x1+x2=-2(m+1),x1x2=m2-1.∵(x1-x2)2=16-x1x2,∴(x1+x2)2-4x1x2=16-x1x2,即(x1+x2)2=16+3x1x2,∴[-2(m+1)]2=16+3(m2-1),解得m=1或m=-9.又∵m≥-1,∴m=-9不合题意,舍去,∴m=1.锦囊妙计利用根与系数的关系求系数中未知字母的值一元二次方程根与系数的关系是求解一元二次方程系数中未知字母的值的重要数量关系.注意应用一元二次方程根与系数关系的前提是方程必须有两个实数根.谢谢观看！