九年级数学上册 第21章 二次函数与反比例函数 21.4 二次函数的应用（第二课时）课件（新版）沪科

21.4二次函数的应用第2课时第二十一章1．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－2x2＋8x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()A．8米B．6米C．4米D．1米基础自主学习►学习目标1阅读本课时例题，会根据函数图象利用函数性质解决实际问题A[解析]由于y＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8，所以抛物线的顶点坐标是(2，8)，因此，水喷出的最大高度是8米．2．某桥洞的截面是抛物线型，如图所示，在图中建立的平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为y＝－14x2，当桥洞水面宽AB为12米时，水面到桥拱顶点O的距离为________米．9[解析]依题意，设A点坐标为(－6，y)，将A(－6，y)代入抛物线表达式，得y＝－14×(－6)2＝－9，即水面到桥拱顶点O的距离为9米．3．如图，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需____秒．36[解析]设在10秒时到达A点，在26秒时到达B点，桥面OC的最高点为D点，∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，∴点A，B关于抛物线的对称轴对称．∵从A到B需要16秒，∴从A到D需要8秒，∴从O到D需要10＋8＝18(秒)，∴从O到C需要2×18＝36(秒)．[归纳]根据函数图象确定函数的表达式，然后利用函数的性质解决实际问题．4．如图，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为()A．6B．4C．3D．1►学习目标2二次函数和几何图形的综合题C第2课时建立二次函数的模型解决实际问题5．在平面直角坐标系中，点M的坐标为(－1，1)，点N的坐标为(3，5)，点P为抛物线y＝x2－3x＋2上的一个动点，当PM＋PN之长最短时，点P的坐标是()A．(0，2)或(4，6)B．(4，6)C．(0，2)D．无法确定C[解析]连接MN，与抛物线交于P点，根据两点之间线段最短得到此时PM＋PN最短，设直线MN的表达式为y＝kx＋b，求出直线MN的表达式，与抛物线关系式联立组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，此时可以得到两组x与y的值，只有位于线段MN上的点，才符合要求，因而由此可确定P点的坐标．[归纳]二次函数常常与几何图形相结合，应学会已知两个点的坐标求线段的长度．常常会考查二次函数图象与坐标轴围成的三角形以及二次函数的对称性在几何中的应用．重难互动探究探究问题一根据函数图象建立函数模型解决实际问题例1[教材变式题]某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢做成的立柱(如图)，试计算所需不锈钢立柱的总长度．[分析]为了寻求抛物线的函数表达式，可先建立如图所示的平面直角坐标系，原立柱依次记为C1B1，C2B2，C3B3，C4B4，且AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4＝C4C＝0.4m，于是点A坐标为(－1，0)，由于BO＝0.5，∴点B的坐标为(0，0.5)．由于抛物线的对称轴为y轴，可设函数表达式为y＝ax2＋c，列方程求出a，c，再根据表达式可求出C1B1，C2B2，再由抛物线的对称性可求出C3B3，C4B4.解：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋c，由B(0，0.5)，A(－1，0)可知c＝0.5，a＋c＝0，解得a＝－0.5，c＝0.5，∴抛物线的函数表达式为y＝－0.5x2＋0.5(－1≤x≤1)．由题意知C1(－0.6，0)，C2(－0.2，0)，故B1，B2的横坐标分别为x1＝－0.6，x2＝－0.2，分别代入y＝－0.5x2＋0.5中，得B1，B2的纵坐标为y1＝0.32，y2＝0.48，∴B4C4＝B1C1＝0.32，B3C3＝B2C2＝0.48，∴所需不锈钢立柱的总长度为(0.32＋0.48)×2×50＝80(m)．答：所需不锈钢立柱的总长度为80m.[归纳总结](1)合理建立平面直角坐标系，可减小计算难度；(2)由相关线段的长写出点的坐标，由点的坐标求出相应线段的长，是解决问题的关键．探究问题二建立二次函数模型解决实际问题例2[教材变式题]某工厂计划购进的A、B两种材料共50箱．设A种材料购进了x箱．(1)若工厂用这两种材料生产出来的产品的总利润y(万元)与x(箱)的函数关系大致如下表，请先根据下表画出简图，猜想函数类型，求出函数表达式(求函数表达式不取近似值)；x1520253038404550y10约27.5840约48.20约49.10约47.1240约26.99(2)确定采用哪种进货方案能让厂家获得最大利润，并求出最大利润．[解析](1)在所给定的平面直角坐标系中通过描点、连线等步骤画出图形，根据图象判断该函数为二次函数，再将三点坐标代入其中即可求得二次函数的表达式；(2)根据所求函数表达式，利用配方求得最大利润．解：(1)画图如图所示：由所画简图可知该函数为二次函数，设二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c，由图象可知抛物线经过点(15，10)，(25，40)，(45，40)，将三点坐标代入二次函数表达式，可得a＝－0.1，b＝7，c＝－72.5，∴二次函数的表达式为y＝－0.1x2＋7x－72.5.(2)y＝－0.1x2＋7x－72.5＝－0.1(x－35)2＋50，因而，当x＝35时，能让厂家获得最大利润，最大利润为50万元．[归纳总结]当两个变量之间的函数关系没有明确给出时，需要通过图象分析属于哪种函数关系，用待定系数法求出函数表达式是关键．探究问题三二次函数与几何图形的综合题例3如图，已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于两点A，B，其顶点为点C.(1)对于任意实数m，点M(m，－2)是否在该抛物线上？请说明理由；(2)求证：△ABC是等腰直角三角形；(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．[分析](1)设点M(m，－2)在抛物线y＝x2－4x＋3上，则－2＝m2－4m＋3，即m2－4m＋5＝0，此方程无实数解，从而点M(m，－2)不在该抛物线上．(2)先求得点A，B，C的坐标，从而得到AC，BC，AB的长，再说明△ABC是等腰直角三角形．(3)设存在这样的点P，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，则连接点P与点C的线段应被x轴平分，得到点P的纵坐标是1，由点P在抛物线y＝x2－4x＋3上，将点P的纵坐标代入可得点P的坐标．解：(1)假如点M(m，－2)在该抛物线上，则－2＝m2－4m＋3，即m2－4m＋5＝0，由于Δ＝(－4)2－4×1×5＝－4＜0，此方程无实数解，所以点M(m，－2)不会在该抛物线上．(2)证明：当y＝0时，x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，由于点A在点B的左侧，∴A点坐标为(1，0)，B点坐标为(3，0)．y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴顶点C的坐标是(2，－1)，得AC＝2，BC＝2，AB＝2，由勾股定理，∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形．(3)存在这样的点P.根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点P与点C的线段应被x轴平分，∴点P的纵坐标是1.∵点P在抛物线y＝x2－4x＋3上，∴当y＝1时，即x2－4x＋3＝1，解得x1＝2－2，x2＝2＋2，∴点P的坐标是(2－2，1)或(2＋2，1)．[归纳总结]“点”是否存在问题，点的坐标代入抛物线函数表达式，有解则点存在，无解则点不存在；本题的解题关键是对角线互相平分的四边形是平行四边形，由此可得点P的纵坐标，继而将点P的纵坐标代入抛物线关系式求得点P的横坐标．课堂小结第2课时建立二次函数的模型解决实际问题[反思]阅读下面问题的解答过程，完成填空：某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价出售，每天可销售6台，假设这种品牌的彩电每台降价100x(x为正整数)元，每天可以多销售3x台．求销售该品牌彩电每天获得的最大利润y是多少元？解：由题意，得y＝(3900－3000－100x)(6＋3x)＝－300x2＋2100x＋5400.∵x＝－b2a＝3.5，而x为正整数，∴当x______时，y有最大值，且最大值为______元．＝3或49000[点评]利用二次函数解决实际问题时，往往会遇到这样的情形：(1)顶点不符合条件，如上问题中x不是正整数，为此，我们要结合二次函数的性质考虑问题中最接近顶点的整数值的情况；(2)顶点不在自变量的取值范围内，这时，我们要结合图象考虑x有意义的区域内的最值情况．