八年级数学下册 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.2 菱形（第2课时）课件

第十八章平行四边形18.2.2菱形（第2课时）1．掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算；（难点）2．经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想，体会研究图形判定的一般思路．（重点）学习目标：菱形ABCD的性质：1.具有平行四边形的一切性质。2.菱形本身具有的特殊性质:四条边相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.ABCD123456783.菱形的面积等于菱形对角线长之积的一半.O菱形的判定方法1：一组邻边相等的平行四边形是菱形；AB=BCABCD□ABCDABCD菱形ABCDAB=BC□ABCD四边形ABCD是菱形证明猜想1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：在中，AC⊥BDABCD求证:四边形ABCD是菱形.ABCDO∟证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC又∵AC⊥BD;∴BA=BC(线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等)∴四边形ABCD是菱形二、学生探索，尝试解决判定方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形AC⊥BD∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形ABCD菱形ABCDABCD□ABCD几何语言：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，想一想，蓝色的部分展开后，应该是什么图形？具有什么特点？猜想2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。ABCD证明猜想2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：在中，AC⊥BDABCD求证:四边形ABCD是菱形.ABCDO∟证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC又∵AC⊥BD;∴BA=BC(线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等)∴四边形ABCD是菱形判定方法3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形AC⊥BD∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形ABCD菱形ABCDABCD□ABCD几何学语言归纳菱形常用的判定方法：1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（对角线互相垂直平分的四边形是菱形.）3、有四条边相等的四边形是菱形.一、信息交流，得出新知例1如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证：ABCD是菱形.证明：∵AB=5，AO=4，BO=3，∴=+∴是直角三角形（勾股定理的逆定理）即AC⊥BD,∴ABCD是菱形.（对角线互相垂直的平行四边形是菱形.）ABCDO2AB2AO2BO2AB2AO2BO2AB2AOAOB典例分析2例2已知：如图,在△ABC中,AD是角平分线,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AC,EF=ED.求证：四边形CDEF是菱形.ACBEDF证明：∵∠1=∠2,又∵AE=AC,∴△ACD≌△AED(SAS).同理△ACF≌△AEF(SAS).∴CD=ED,CF=EF.又∵EF=ED,∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.1跟踪练习，巩固新知1、判断题(1)对角线互相垂直的四边形是菱形（）(2)一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（）(3)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（）(4)对角线相等的四边形是菱形（）(5)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形（）(6)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形（）答案：(1)（×）(2)（×）(3)（√）(4)（×）(5)（√）(6)（√）2、四边形ABCD是矩形，MN垂直平分对角线BD于O，交AD于M，交BC于N，求证：四边形MBND是菱形解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MDO=∠NBO，∵MN垂直平分对角线BD，∴OD=OB，MN⊥BD，在△MOD和△NOB中，∠MDO＝∠NBO；OD＝OB；∠MOD＝∠NOB，∴△MOD≌△NOB（ASA），∴OM=ON，∴四边形MBND是平行四边形，又∵MN⊥BD，∴四边形MBND是菱形。3、已知，如图所示，在▱ABCD中，∠BAD的平分线与BC交于E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE，BF交于O，则四边形ABEF为菱形，请说明理由。解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，同理：AB=AF，∴AF=BE，∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=AF∴四边形ABEF是菱形。深化提高4、如图，▱ABCD，E，F是对角线AC上的两点，若∠ABF＝∠CDE＝90°.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若AB＝AD＝8，BF＝6，求AE的长．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.在△ABF和△CDE中，∵∠BAC＝∠DCA，AB＝CD，∠ABF＝∠CDE，∴△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，∠AFB＝∠CED，∴BF∥DE，∴四边形BEDF是平行四边形；(2)连结BD交AC于点G.∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴四边形BEDF是菱形，∴BE＝BF＝6，EG＝FG.∵∠ABF＝90°，AB＝AD＝8，BF＝6，∴AF＝＝10，∵S△ABF＝2(1)AF·BG＝2(1)AB·BF，∴BG＝AF(AB·BF)＝5(24)，∴EG＝＝5(18)，∴AE＝AF－2EG＝10－2×5(18)＝5(14).课堂小结有一组邻边相等的平行四边形是菱形.1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2.四边相等的四边形是菱形.运用定理进行计算和证明.菱形的判定定义判定定理七、课后作业，分层提升必做：课本第58页练习第2题.选做：课本61页10题.达标检测1.判断下列说法是否正确？为什么？(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形2.数学课上，老师让同学们判断一个四边形是否为菱形，下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相等B．测量对角线是否垂直C．测量一组对角是否相等D．测量四边是否相等3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BCB．∠ACB=60°C．∠B=60°D．AC=BC4.已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，则下列命题是假命题的是（）A．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形B．若BO=2AO，则平行四边形ABCD是菱形C．若AB=AD，则平行四边形ABCD是菱形D．若∠ABD=∠CBD，则平行四边形ABCD是菱形5.如图：□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，（1）若AB=AD，则□ABCD是形；（2）若AC=BD，则□ABCD是形；（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是形；（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是形。6.如图所示，将两条等宽的纸条重叠在一起，则四边形ABCD是_______，若AB=8，∠ABC=60，则AC=________，BD=__________.7.如图，在平行四边形ABCD中，E，G，F，H分别是边AD，AB，BC，CD上的点，且EF=GH，AE=CF，DH=BG，求证：四边形EGFH是菱形。参考答案1.（1）×（2）√（3）×2.D3.D4.D5.（1）菱（2）矩（3）矩（4）菱6..菱形；8；7.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠A=∠C，∵DH=BG，∴AG=CH，在△AGE和△FHC中，AE＝CF；∠A＝∠C；AG＝CH，∴△AGE≌△FHC）SAS），∴GE=FH，同理：GF=EH，∴四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形、8.解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，由折叠的性质得：BE=DE，∠BEF=∠DEF，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，又∵BE=DE，∴四边形EBFD是菱形；（2）解：由（1）得：四边形EBFD是菱形，∴BF=BE，设BE=x，则BF=DE=BE=x，AE=AD-DE=9-x在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，则32+（9-x）2=x2，解得：x=5．∴BF=BE=5，AE=4，作EM⊥BC于M，如图所示，则EM=AB=3，BM=AE=4，∴MF=BF-BM=1，∴EF==