2021高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 导数与函数的极值、最值课件 理 新人教A版

§3.3导数与函数的极值、最值1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).2.会利用导数解决实际问题(生活中的优化问题).最新考纲考查函数的极值、最值，常与方程、不等式相结合命题，强化应用意识.题型为解答题，难度较大.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实知识梳理1.函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0图象极值f(x0)为_______f(x0)为_______极值点x0为_________x0为_________极大值极小值极大值点极小值点2.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.f(a)f(b)f(a)f(b)概念方法微思考1.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的___________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)必要不充分2.函数的最大值一定是函数的极大值吗？提醒不一定，函数的最值可能在极值点或端点处取到.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极大值不一定比极小值大.()(2)函数的极小值一定是函数的最小值.()(3)开区间上的单调连续函数无最值.()基础自测题组一思考辨析×√√题组二教材改编2.函数f(x)＝2x－xlnx的极值是A.1eB.2eC.eD.e2√解析因为f′(x)＝2－(lnx＋1)＝1－lnx，当f′(x)0时，解得0xe；当f′(x)0时，解得xe，所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e.故选C.3.当x0时，lnx，x，ex的大小关系是________.解析构造函数f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝1x－1，lnxxex可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－10，所以lnxx.同理可得xex，故lnxxex.4.现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是______.解析容积V＝(a－2x)2x,0xa2，227a3则V′＝2(a－2x)×(－2x)＋(a－2x)2＝(a－2x)(a－6x)，由V′＝0得x＝a6或x＝a2(舍去)，则x＝a6为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmax＝227a3.题组三易错自纠5.若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，m＝_____.134解析f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)0，当x∈(2,3]时，f′(x)0，所以f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.6.已知函数f(x)＝x3＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________.1332，4解析f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在(1,2)上是单调递增函数，因此f′1＝3－2a0，f′2＝8－2a0，解得32a4，故实数a的取值范围为32，4.典题深度剖析重点多维探究题型突破用导数求解函数极值问题题型一多维探究命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)√解析由题图可知，当x－2时，f′(x)0；当－2x1时，f′(x)0；当1x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，求函数f(x)的极值.解因为f(x)＝x2－1－2alnx(x0)，所以f′(x)＝2x－2ax＝2x2－ax.①当a0时，因为x0，且x2－a0，所以f′(x)0对x0恒成立.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值.②当a0时，令f′(x)＝0，解得x1＝a，x2＝－a(舍去).所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以当x＝a时，f(x)取得极小值，且f(a)＝(a)2－1－2alna＝a－1－alna.无极大值.综上，当a0时，函数f(x)在(0，＋∞)上无极值.当a0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－1－alna，无极大值.命题点3已知极值点求参数例3(1)(2020·江西八校联考)若函数f(x)＝x2－x＋alnx在(1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为___________.解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－1＋ax＝2x2－x＋ax，(－∞，－1)由题意知2x2－x＋a＝0在R上有两个不同的实数解，且在(1，＋∞)上有解，所以Δ＝1－8a0，且2×12－1＋a0，所以a∈(－∞，－1).(2)若函数f(x)的导数f′(x)＝(x－k)k，k≥1，k∈Z，已知x＝k是函数f(x)的极大值点，则k＝______.x－521解析因为函数的导数为f′(x)＝x－52(x－k)k，k≥1，k∈Z，所以若k是偶数，则x＝k不是极值点，则k是奇数，若k52，由f′(x)0，解得x52或xk；由f′(x)0，解得kx52，即当x＝k时，函数f(x)取得极大值.因为k≥1，k∈Z，所以k＝1，若k52，由f′(x)0，解得xk或x52；由f′(x)0，解得52xk，即当x＝k时，函数f(x)取得极小值不满足条件.函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域.②求导数f′(x).③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根.④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号.(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.②验证：求解后验证根的合理性.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1(1)(2019·河北冀州中学模拟)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________.(－1,0)解析若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a0，当x∈(－1，a)时，f′(x)0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值；若－1a0，当x∈(－1，a)时，f′(x)0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，所以函数f(x)在x＝a处取得极大值；若a－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)0，当x∈(a，－1)时，f′(x)0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值.综上所述，a∈(－1,0).(2)已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R).讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数.解f(x)的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝a－1x＝ax－1x，当a≤0时，f′(x)0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；当a0时，由f′(x)0得0x1a，由f′(x)0，得x1a，∴f(x)在0，1a上单调递减，在1a，＋∞上单调递增，即f(x)在x＝1a处有极小值，无极大值.综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点，当a0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点.用导数求函数的最值题型二师生共研例4已知函数f(x)＝1－xx＋klnx，k1e，求函数f(x)在1e，e上的最大值和最小值.解f′(x)＝－x－1－xx2＋kx＝kx－1x2.①若k≤0，则在1e，e上恒有f′(x)0，所以f(x)在1e，e上单调递减.②若0k1e，则f′(x)＝kx－1x2＝kx－1kx2，由k1e，得1ke，则x－1k0在1e，e上恒成立，所以kx－1kx20在1e，e上恒成立，所以f(x)在1e，e上单调递减.综上，当k1e时，f(x)在1e，e上单调递减，所以f(x)min＝f(e)＝1e＋k－1，f(x)max＝f1e＝e－k－1.若本例条件中的“k1e”改为“k≥1e”，则函数f(x)在1e，e上的最小值是多少？引申探究解f′(x)＝kx－1x2＝kx－1kx2，∵k≥1e，∴01k≤e，若01k≤1e，即k≥e时，f′(x)≥0在1e，e上恒成立，f(x)在1e，e上为增函数，f(x)min＝f1e＝e－k－1.若1e1ke，即1eke时，f(x)在1e，1k上为减函数，在1k，e上为增函数，f(x)min＝f1k＝k－1－klnk.当k＝1e时，f(x)在1e，e上为减函数，无最小值.综上，当1eke时，f(x)min＝k－1－klnk，当k≥e时，f(x)min＝e－k－1，当k＝1e时，f(x)在1e，e上无最小值.(1)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调递增或单调递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值.(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极大(或极小)值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2(2020·福州检测)已知函数g(x)＝alnx＋x2－(a＋2)x(a∈R)，求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a).解g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝ax＋2x－(a＋2)＝2x2－a＋2x＋ax＝2x－ax－1x.①当a2≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上为增函数，h(a)＝g(1)＝－a－1；②当1a2e，即2a2e时，g(x)在1，a2上为减函数，在a2，e上为增函数，h(a)＝ga2＝alna2－14a2－a；③当a2≥e，即a≥2e时，g(x)在[1，e]上为减函数，h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.综上，h(a)＝－a－1，a≤2，alna2－14a2－a，2a2e，1－ea＋e2－2e，a≥2e.课时精练解析设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当