2021高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.4 直线、平面垂直的判定与性质课件 理 新

§8.4直线、平面垂直的判定与性质1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.最新考纲直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用、直线与平面所成角等内容.题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.考情考向分析INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面α内的直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.任意一条知识梳理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线_____⇒a∥b(2)判定定理与性质定理相交__________________________________a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b平行a⊥αb⊥α2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是的角.它在平面上的射影(2)范围：0，π2.直角0°3.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角.②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直.两个半平面垂直于棱直二面角文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于的直线与另一个平面垂直⇒l⊥α(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理垂线l⊥αl⊂βα⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a交线1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面.概念方法微思考2.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行.由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.()(4)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直.()×××√基础自测题组一思考辨析2.下列命题中错误的是A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β√解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的.题组二教材改编3.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的_____心；外解析如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的_____心.垂解析如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.4.若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√解析由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立，因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A.题组三易错自纠5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是A.与AC，MN均垂直B.与AC垂直，与MN不垂直C.与AC不垂直，与MN垂直D.与AC，MN均不垂直√解析因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，ON＝1＋4＝5，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是A.MN∥ABB.平面VAC⊥平面VBCC.MN与BC所成的角为45°D.OC⊥平面VAC√解析由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选B.典题深度剖析重点多维探究题型突破例1(2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.直线与平面垂直的判定与性质题型一师生共研解由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以四棱锥E－BB1C1C的体积(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积.V＝13×3×6×3＝18.证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理.②垂直于平面的传递性.③面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点.当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF.证明因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，因为BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，所以AD⊥B1B.因为BC∩B1B＝B，BC，B1B⊂平面B1BCC1，所以AD⊥平面B1BCC1.因为B1F⊂平面B1BCC1，所以AD⊥B1F.方法一在矩形B1BCC1中，因为C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，所以∠CFD＝∠C1B1F，所以∠B1FD＝90°，所以B1F⊥FD.因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF，所以B1F⊥平面ADF.方法二在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3，所以B1D＝BD2＋BB21＝10.在Rt△B1C1F中，B1C1＝2，C1F＝1，所以B1F＝B1C21＋C1F2＝5.在Rt△DCF中，CF＝2，CD＝1，所以DF＝CD2＋CF2＝5.显然DF2＋B1F2＝B1D2，所以∠B1FD＝90°.所以B1F⊥FD.因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF，所以B1F⊥平面ADF.例2(2020·栖霞模拟)如图，多面体ABCDEF中，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，FA⊥平面ABCD，ED∥FA，且AB＝FA＝2ED＝2.(1)求证：平面FAC⊥平面EFC；平面与平面垂直的判定与性质题型二师生共研证明连接BD交AC于O，设FC中点为P，连接OP，EP，∵O，P分别为AC，FC的中点，∴OP∥FA，且OP＝12FA，∴OP∥ED且OP＝ED，∴四边形OPED为平行四边形，∴OD∥EP，即BD∥EP，∵FA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴FA⊥BD，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵FA∩AC＝A，FA，AC⊂平面FAC，∴BD⊥平面FAC，即EP⊥平面FAC，又EP⊂平面EFC，∴平面FAC⊥平面EFC.(2)求多面体ABCDEF的体积.∵FA⊥平面ABCD，FA⊂平面ADEF，∴平面ADEF⊥平面ABCD，作CG⊥AD于点G，又平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴CG⊥平面ADEF，解VF－ABC＝13S△ABC·FA＝13×34×4×2＝233，∴C到平面ADEF的距离CG＝32CD＝3，∴VC－ADEF＝13×1＋2×22×3＝3，∴VABCDEF＝VF－ABC＋VC－ADEF＝533.(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2(2019·河南省八市重点高中联盟“领军考试”测评)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1＝AC，∠ACB＝90°.(1)求证：平面AB1C1⊥平面A1B1C；证明∵平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∠ACB＝90°，∴BC⊥平面ACC1A1，∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1C，∵B1C1∥BC，∴A1C⊥B1C1，∵四边形ACC1A1是平行四边形，且AA1＝AC，∴四边形ACC1A1是菱形，∴A1C⊥AC1，∵AC1∩B1C1＝C1，AC1，B1C1⊂平面AB1C1，∴A1C⊥平面AB1C1，又A1C⊂平面A1B1C，∴平面AB1C1⊥平面A1B1C.(2)若∠A1AC＝60°，AC＝2CB＝2，求四棱锥A－BCC1B1的体积.∴＝12×2×2×sin120°＝3，解∵四边形ACC1A1是菱形，∠A1AC＝60°，AC＝2，1ACCS△∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，BC⊥平面ACC1A1，BC＝1，∴＝13××B1C1＝13×3×1＝33，11BACCV－1ACCS△∴＝＝＝233，11ABCCBV－112ACCBV－112BACCV－即四棱锥A－BCC1B1的体积为233.例3如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.(1)证明：△PBC是直角三角形；证明∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点.∴BC⊥AC，∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形.垂直关系的综合应用题型三师生共研(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.2解如图，过A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，又PC∩BC＝