2021高考数学大一轮复习 第二章 函数 2.4 指数与指数函数课件 理 新人教A版

第八单元考点一考点二核心素养专项提升2.4指数与指数函数第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测2311.根式(1)根式的概念xn=a⇒𝑥=a𝑛(当𝑛为奇数,且𝑛∈N*时),𝑥=±𝑎𝑛(当𝑛为偶数,且𝑛∈N*时).(2)根式的性质①(𝑎𝑛)n=a(n∈N*).②𝑎𝑛𝑛=𝑎,𝑛为奇数,|𝑎|=𝑎,𝑎≥0,-𝑎,𝑎0,𝑛为偶数.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测2312.实数指数幂(1)分数指数幂的表示且n1).③0的正分数指数幂是,0的负分数指数幂无意义.①正数的正分数指数幂的意义是𝑎𝑚𝑛=𝑎𝑚𝑛(a0,m,n∈N*,且n1).②正数的负分数指数幂的意义是𝑎-𝑚𝑛=1𝑎𝑚𝑛=1𝑎𝑚𝑛(a0,m,n∈N*,0第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测231(2)有理数指数幂的运算性质①aras=(a0,r,s∈Q).②(ar)s=(a0,r,s∈Q).③(ab)r=(a0,b0,r∈Q).(3)无理数指数幂一般地,无理数指数幂aα(a0,α是无理数)是一个的实数,有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.ar+sarsarbr确定第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测231函数y=ax(a0,且a≠1)0a1a1图象图象特征在x轴,过定点当x逐渐增大时,图象逐渐下降当x逐渐增大时,图象逐渐上升上方(0,1)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测231性质定义域值域单调性在R上在R上函数值变化规律当x=0时,当x0时,;当x0时,当x0时,;当x0时,R(0,+∞)单调递减单调递增y=1y10y10y1y1第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(4)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.()(5)若aman,则mn.()(1)(𝜋-4)44=π-4.()(2)𝑎𝑛𝑛与(𝑎𝑛)n都等于a(n∈N*).()(3)(-1)24=(-1)12=-1.()××××第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234152.已知当x0时,函数f(x)=(2a-1)x的值恒大于1,则实数a的取值范围是()A.12,1B.(1,2)C.(1,+∞)D.(-∞,1)答案解析解析关闭由题意可得02a-11,解得12a1,故选A.答案解析关闭A第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234153.已知函数f(x)=3x-13𝑥,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数答案解析解析关闭因为f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x-13-𝑥=13𝑥-3x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.又y=3x和y=-13𝑥在R上都是增函数,所以函数f(x)在R上是增函数.故选A.答案解析关闭A第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测234154.(2019辽宁阜新月考)函数y=ax-2+1(a0,且a≠1)的图象必经过点()A.(0,1)B.(1,1)C.(2,0)D.(2,2)答案解析解析关闭由题意可知,当x=2时,y=a2-2+1=2恒成立,故函数y=ax-2+1(a0,且a≠1)的图象必经过点(2,2).答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-11-知识梳理双基自测234155.614-(π-1)0-33813+164-23=.答案解析解析关闭原式=254-1-27813+6423=52-1-32+(43)23=32−32+16=16.答案解析关闭16第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3考点1指数幂的化简与求值例1求值与化简:(1)化简16x8y44(x0,y0)得()A.2x2yB.2xyC.4x2yD.-2x2y(2)14-12·(4𝑎𝑏-1)3(0.1)-1·(𝑎3·𝑏-3)12=.思考指数幂的运算应遵循怎样的原则?答案解析解析关闭(1)16x8y44=(16x8y4)14=[24(-x)8·(-y)4]14=24×14(-x)8×14·(-y)4×14=2(-x)2(-y)=-2x2y.(2)原式=2×432𝑎32𝑏-3210𝑎32𝑏-32=85.答案解析关闭(1)D(2)85第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3解题心得指数幂运算的一般原则:(1)有括号的先算括号里的.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数幂.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3对点训练1求值与化简:(1)𝑎3𝑏2ab23(a14𝑏12)4𝑎-13𝑏13(a0,b0);(2)若𝑥12+𝑥-12=3,求𝑥32+𝑥-32+2𝑥2+𝑥-2+3的值.解:(1)原式=(𝑎3𝑏2𝑎13𝑏23)12𝑎𝑏2𝑎-13𝑏13=𝑎32+16-1+13𝑏1+13-2-13=ab-1.(2)由𝑥12+𝑥-12=3,平方得x+x-1+2=9,所以x+x-1=7.再平方得x2+x-2+2=49,所以x2+x-2=47.因为𝑥32+𝑥-32=(𝑥12+𝑥-12)3-3(𝑥12+𝑥-12)=27-9=18.所以原式=18+247+3=25.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3考点2指数函数的图象及其应用例2(1)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()A.a1,b0B.a1,b0C.0a1,b0D.0a1,b0(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.思考画指数函数的图象及应用指数函数的图象解决问题应注意什么?[-1,1]D第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3解析:(1)由f(x)=ax-b的图象可以看出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0a1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的图象的基础上向左平移得到的,所以b0.故选D.(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图可知,若|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3解题心得1.画指数函数y=ax(a0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),-1,1𝑎.2.与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论.3.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3对点训练2(1)函数y=ax-(a0,a≠1)的图象可能是()(2)若函数y=|3x-1|在区间(-∞,k]上单调递减,则k的取值范围为.1𝑎(3)函数y=ax-b(a0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则ab的取值范围为.(0,1)D(-∞,0]第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3解析:(1)当a1时,函数单调递增,且函数的图象恒过点0,1-1𝑎.因为01-1𝑎1,所以A,B均不正确;当0a1时,函数单调递减,且函数的图象恒过点0,1-1𝑎,因为1-1𝑎0,所以选D.(2)作出函数y=|3x-1|的图象,如图所示.由图象知,函数在区间(-∞,0]上单调递减,所以k的取值范围是(-∞,0].第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3(3)因为y=ax-b的图象经过第二、三、四象限,所以函数y=ax-b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.令x=0,得y=a0-b=1-b,则需0𝑎1,1-𝑏0,即0𝑎1,𝑏1.故ab∈(0,1).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3考点3指数函数的性质及其应用(多考向)考向一比较指数式的大小例3设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.acbC.bacD.bca思考如何进行指数式的大小比较?答案解析解析关闭由y=0.6x在区间(0,+∞)内单调递减可知,00.61.50.60.61,又1.50.61,所以bac.故选C.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3考向二解简单的指数方程或指数不等式A.(-∞,-3)B.(1,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)思考如何解简单的指数方程或指数不等式?例4设函数f(x)=12𝑥-7,𝑥0,𝑥,𝑥≥0,若f(a)1,则实数a的取值范围是()答案解析解析关闭当a0时,不等式f(a)1可化为12𝑎-71,即12𝑎8,即12𝑎12-3,因为0121,所以a-3,此时-3a0;当a≥0时,不等式f(a)1可化为𝑎1,即0≤a1.故a的取值范围是(-3,1),故选C.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3考向三指数型函数与函数性质的综合(1)判断f(x)的奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.思考如何求解指数型函数与函数性质的综合问题?例5已知f(x)=𝑎𝑎2-1(ax-a-x)(a0,且a≠1).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-24-考点1考点2考点3解(1)函数定义域为R,关于原点对称.(2)当a1时,a2-10,y=ax在R上为增函数,y=a-x在R上为减函数,从而y=ax-a-x在R上为增函数,故f(x)在R上为增函数.当0a1时,a2-10,y=ax在R上为减函数,y=a-x在R上为增函数,从而y=ax-a-x在R上为减函数,故f(x)在R上为增函数.故当a0,且a≠1时,f(x)在R上单调递增.(3)由(2)知,f(x)在R上为增函数,所以f(x)在区间[-1,1]上为增函数.故要使f(x)≥b在[-1,1]上恒成立,则只需b≤-1,故b的取值范围是(-∞,-1].又因为f(-x)=𝑎𝑎2-1(a-x-ax)=-f(x),所以f(x)为奇函数.所以f(x)min=f(-1)=𝑎𝑎2-1(a-1-a)=𝑎𝑎2-1·1-𝑎2𝑎=-1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-25-考点1考点2考点3解题心得1.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较.2.解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.3.求解指数型函