2020新教材高中数学 第十章 复数章末整合课件 新人教B版必修第四册

章末整合专题一复数的概念及几何意义例1设复数z=(1+i)m2-(2+4i)m-3+3i.试求当实数m取何值时:(1)z是实数;(2)z是纯虚数;(3)z对应的点在直线x+y=0上;(4)|z|=0;(5)=-3+i.𝑧解:z=(1+i)m2-(2+4i)m-3+3i=(m2-2m-3)+(m2-4m+3)i.①因为z是实数,所以m2-4m+3=0,解得m=1或m=3.②因为z是纯虚数,所以𝑚2-2𝑚-3=0,𝑚2-4𝑚+3≠0,解得m=-1;③由于z对应的点在直线x+y=0上,所以(m2-2m-3)+(m2-4m+3)=0,解得m=0或m=3.④因为|z|=0,所以z=0,因此𝑚2-2𝑚-3=0,𝑚2-4𝑚+3=0.解得m=3.⑤因为𝑧=-3+i,所以z=-3-i,因此𝑚2-2𝑚-3=-3,𝑚2-4𝑚+3=-1.解得m=2.例2若△ABC中,A,B两顶点对应的复数分别为1+i与3-i,且△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形,求C点对应的复数.解:设C点对应的复数为z=x+yi(x,y∈R).由于△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形,所以|𝐴𝐶|=|𝐵𝐶|,𝐴𝐶⊥𝐵𝐶,因此有(𝑥-1)2+(𝑦-1)2=(𝑥-3)2+(𝑦+1)2,(𝑥-1)(𝑥-3)+(𝑦-1)(𝑦+1)=0,解得𝑥=1,𝑦=-1或𝑥=3,𝑦=1.即C点对应的复数是1-i或3+i.专题二复数的运算例3计算:(1)(2+2i)4(1-3i)5;(2)-23+i1+23i+21-i2020.解:(1)(2+2i)4(1-3i)5=24(1+i)4(-2)5-12+32i5=-24(2i)225-12+32i2=2-12+32i=-1+3i;(2)-23+i1+23i+21-i2020=(-23+i)i(1+23i)i+21010(-2i)1010=(-23+i)ii-23+1i1010=i+1-1=-1+i.例4已知复数z1=15-5i(2+i)2,z2=a-3i(a∈R).(1)若a=2,求z1·𝑧2;(2)若z=𝑧1𝑧2是纯虚数,求a的值.解:由于z1=15-5i(2+i)2=15-5i3+4i=(15-5i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=25-75i25=1-3i.(1)当a=2时,z2=2-3i,∴z1·𝑧2=(1-3i)·(2+3i)=2+3i-6i+9=11-3i.(2)若z=𝑧1𝑧2=1-3i𝑎-3i=(1-3i)(𝑎+3i)(𝑎-3i)(𝑎+3i)=(𝑎+9)+(3-3𝑎)i𝑎2+9为纯虚数,则应满足𝑎+9𝑎2+9=0,3-3𝑎𝑎2+9≠0,解得a=-9.即a的值为-9.专题三复数的三角形式及其运算例5化下列复数为三角形式:(1)-2cos45π+isin4π5;(2)sin3π5+icos3π5;(3)(sin5)·cos3π5+isin3π5.解:(1)-2cos45π+isin4π5=2-cos4π5-isin4π5=2cosπ+4π5+isinπ+45π=2cos9π5+isin9π5.(2)sin3π5+icos3π5=cosπ2-3π5+isinπ2-35π=cos-π10+isin-π10.(3)由sin50,(sin5)·cos3π5+isin3π5=(-sin5)-cos3π5-isin3π5=(-sin5)cosπ+3π5+isinπ+35π=(-sin5)cos8π5+isin8π5.专题四逻辑推理核心素养例6已知|z-4|=4且z+16𝑧∈R,则复数z=.解析:设z=a+bi(a,b∈R),则由已知,得(𝑎-4)2+𝑏2=16,𝑏1-16𝑎2+𝑏2=0,解得𝑎=8,𝑏=0,或𝑎=2,𝑏=23,或𝑎=2,𝑏=-23.因此z=8或z=2±23i.答案:8或2±23i例7设关于x的方程x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0.(1)若方程有实数根,求锐角θ和实数根;(2)证明:对任意的θ≠2kπ+π2(k∈Z),方程无纯虚数根.解:(1)设实数根是a,则a2-(tanθ+i)a-(2+i)=0,即a2-atanθ-2-(a+1)i=0.∵a,tanθ∈R,∴a2-atanθ-2=0且a+1=0,∴a=-1且tanθ=1,又∵θ∈0,π2,∴θ=π4.(2)设方程存在纯虚数根为bi(b∈R,b≠0),则(bi)2-(tanθ+i)bi-(2+i)=0,即-𝑏2+𝑏-2=0,𝑏tan𝜃+1=0,此方程组无实数解,∴对任意的θ≠2kπ+π2(k∈Z),方程无纯虚数根.专题五直观想象的核心素养例8若z∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是()A.2B.3C.4D.5解析:法一:由|z+2-2i|=1,复数z对应的点在以(-2,2)为圆心,半径为1的圆上.|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示圆上点Z到A(2,2)距离的最小值,易知选B.法二:应用公式||z1|-|z2||≤|z1-z2|,∴|z-2-2i|=|(z+2-2i)-4|≥||z+2-2i|-4|=3,即|z-2-2i|的最小值为3.答案:B例9复数z=(1+i)3(𝑎+𝑏i)1-i且|z|=4,z对应的点在第一象限,若复数0,z,𝑧对应的点是正三角形的三个顶点,求实数a,b的值.解:z=(1+i)2·(1+i)1-i(a+bi)=2i·i(a+bi)=-2a-2bi.由|z|=4得a2+b2=4.①∵复数0,z,𝑧对应的点构成正三角形,∴|z-𝑧|=|z|.把z=-2a-2bi代入化简,得a2=3b2,②代入①,得|b|=1.又z对应的点在第一象限,∴a0,b0.由①②得𝑎=-3𝑏=-1,故a=-3,b=-1.