2020新教材高中数学 第十一章 立体几何初步 11.4.2 平面与平面垂直课件 新人教B版必修第四

-1-11.4.2平面与平面垂直课标阐释思维脉络1.理解平面与平面垂直的定义.2.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中面面垂直的有关判定方法及性质.3.掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理,能利用以上定理解决空间中的垂直性问题.4.理解二面角的定义并能求解二面角大小.课前篇自主预习一、二面角1.思考(1)二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关?提示:无关.如图,根据等角定理可知,∠AOB=∠A'O'B',即二面角平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.课前篇自主预习(2)随手打开一本书,发现每两书页之间所在的平面也形成一个角度;修水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度.问题1:根据上述问题,你发现两平面形成的角有何特点?提示:可以是锐角、直角、钝角、平角.问题2:两个半平面形成的二面角可以为0°角吗?提示:可以.问题3:两个半平面成二面角的范围是什么?提示:[0°,180°].课前篇自主预习2.填空概念一般地,平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角.这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面图示课前篇自主预习平面角文字在二面角α-l-β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角图示符号OA⊂α,OB⊂β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围[0,π]规定二面角的大小用它的平面角的大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角课前篇自主预习平面角记法棱为l,面分别为α,β的二面角记为α-l-β.如图所示,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-l-Q一般地,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的4个二面角中,不大于90°的角的大小.课前篇自主预习3.做一做判断正误.(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角.()(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.()(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角.()(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.()解析:(1)(3)不符合定义,故(1)(3)不正确;(2)中两条直线的夹角不能是钝角,当二面角的平面角为锐角时,两个角不会互补,故(2)错;由二面角的平面角的定义知(4)正确.答案:(1)×(2)×(3)×(4)√课前篇自主预习二、两个平面垂直及其判定定理、性质定理1.思考(1)过平面α的一条垂线能作多少个平面与平面α垂直?提示:无数个.可以将自己的课本打开立放在桌面上进行观察.(2)经过平面的一条斜线与该平面垂直的平面有多少个?提示:只有一个.(3)两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系是怎样的?提示:两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系可能是平行,也可能是相交,还可能是在平面内.课前篇自主预习2.填空定义:一般地,如果两个平面α与β所成角的大小为90°,则称这两个平面互相垂直,记作α⊥β.判定定理性质定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面图形语言符号语言a⊂平面αa⊥平面β⇒α⊥βα⊥βa⊂αα⋂β=ba⊥b⇒a⊥β课前篇自主预习3.做一做(1)如图所示,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有()对.A.1B.2C.3D.4解析:∵AB⊥平面BCD,且AB⊂平面ABC和AB⊂平面ABD,∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.又∵BC⊥CD,AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.∵CD⊂平面ACD,∴平面ABC⊥平面ACD.故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ACD.答案:C课前篇自主预习(2)已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,平行四边形ABCD一定是.解析:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.又因为PC⊥BD,PA∩PC=P,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥AC,所以平行四边形ABCD一定是菱形.答案:菱形(3)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面ABCD⊥平面BDD1B1.证明:∵BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,∴BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1,∴平面ABCD⊥平面BDD1B1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测求二面角的大小例1四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.(1)求二面角A-PD-C的平面角的度数;(2)求二面角B-PA-D的平面角的度数;(3)求二面角B-PA-C的平面角的度数;(4)求二面角B-PC-D的平面角的度数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.所以二面角A-PD-C的平面角的度数为90°.(2)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AD⊥PA.所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.又由题意知∠BAD=90°,所以二面角B-PA-D的平面角的度数为90°.(3)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AC⊥PA.所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形,所以∠BAC=45°.所以二面角B-PA-C的平面角的度数为45°.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(4)作BE⊥PC于点E,连接DE,BD,且BD与AC交于点O,连接EO,如图.由题意知△PBC≌△PDC,则∠BPE=∠DPE,从而△PBE≌△PDE.所以∠DEP=∠BEP=90°,且BE=DE.所以∠BED为二面角B-PC-D的平面角.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.设AB=a,则PA=AB=BC=a,所以PB=√2a,PC=√3a,所以BE=𝑃𝐵·𝐵𝐶𝑃𝐶=√6𝑎3,BD=√2a.所以sin∠BEO=𝐵𝑂𝐵𝐸=22𝑎63𝑎=√32.所以∠BEO=60°.所以∠BED=120°.所以二面角B-PC-D的平面角的度数为120°.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟作二面角的平面角的方法方法一(定义法):在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.方法二(垂线法):过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测方法三(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1(1)如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行,则这两个二面角的大小关系是()A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系不确定解析:可作出这两个二面角的平面角,易知这两个平面角的两边分别平行,故这两个二面角相等或互补.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(2)已知Rt△ABC,斜边BC⊂α,点A∉α,AO⊥α,O为垂足,∠ABO=30°,∠ACO=45°,求二面角A-BC-O的大小.解:如图所示,在平面α内,过点O作OD⊥BC,垂足为点D,连接AD.设OC=a,∵AO⊥α,BC⊂α,∴AO⊥BC.又∵AO∩OD=O,∴BC⊥平面AOD.而AD⊂平面AOD,∴AD⊥BC,∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角.由AO⊥α,OB⊂α,OC⊂α知AO⊥OB,AO⊥OC.又∠ABO=30°,∠ACO=45°,课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测∴AO=a,AC=√2a,AB=2a.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∴BC=√𝐴𝐶2+𝐴𝐵2=√6a,∴AD=𝐴𝐵·𝐴𝐶𝐵𝐶=2𝑎·√2𝑎√6𝑎=2√3𝑎3.在Rt△AOD中,sin∠ADO=𝐴𝑂𝐴𝐷=𝑎23𝑎3=√32.∴∠ADO=60°,即二面角A-BC-O的大小是60°.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测面面垂直的判定例2如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测则AD⊥BC,SD⊥BC,∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.在Rt△BSC中,∵SB=SC=a,∴SD=√2𝑎2,BD=𝐵𝐶2=√2𝑎2.在Rt△ABD中,AD=√2𝑎2,在△ADS中,∵SD2+AD2=SA2,∴∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.证明:法一:(利用定义证明)∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,∴△ASB和△ASC是等边三角形,令SA=SB=SC=AB=AC=a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测法二:(利用判定定理)∵SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,∴SA=AB=AC,∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.∵△SBC为直角三角形,∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,∴AD⊥平面SBC.又∵AD⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面SBC.反思感悟证明:面面垂直的方法(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测证明:由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1,又BM⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.在Rt△B1C1M中,B1M=𝐵1𝐶12+𝑀𝐶12=√2,同理BM=√𝐵𝐶2+𝐶𝑀2=√2,又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B,所以BM⊥平面A1B1M,因为BM⊂平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测面面垂直的性质例3如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC.(1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明.(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:(1)BC⊥平面PAC.证明:因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,所以∠ACB=90°,所以BC⊥AC.又因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面PAC.(2)因为BC⊥平面PAC,且BC⊂平面