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-1-11.1.3多面体与棱柱11.1.4棱锥与棱台课标阐释思维脉络1.通过观察实例,理解并掌握多面体、棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系.3.在描述和判断几何体结构特征的过程中,培养学生的观察能力和空间想象能力.4.了解常见多面体、棱柱、棱锥与棱台的表面积与侧面积公式.课前篇自主预习一、多面体与棱柱1.思考(1)观察下面物体,你能说出各组物体的共同点吗?提示:几何体的表面由若干个平面多边形围成.(2)观察下列多面体,有什么共同特点?提示:有两个面相互平行;其余各面都是平行四边形;每相邻两个四边形的公共边都互相平行.课前篇自主预习(3)棱柱的侧面一定是平行四边形吗?提示:根据棱柱的特点知侧棱平行、底面平行,所以棱柱的侧面一定是平行四边形.(4)多面体最少有几个面?提示:至少有4个面.课前篇自主预习2.填空(1)多面体的概念定义一般地,由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体,围成多面体的各个多边形称为多面体的面;相邻两个面的公共边称为多面体的棱;棱与棱的公共点称为多面体的顶点面对角线,体对角线一个多面体中,连接同一面上两个顶点的线段,如果不是多面体的棱,就称其为多面体的面对角线;连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线截面一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),称为这个几何体的一个截面表面积多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积)课前篇自主预习(2)棱柱的概念定义多面体,有两个面互相平行,且该多面体的顶点都在这两个面上,其余各面都是平行四边形,这样的多面体称为棱柱底面,侧面,侧棱,高,侧面积棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时,分别称为上底面、下底面),其他各面称为棱柱的侧面,两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱,过棱柱一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高,棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积直棱柱、斜棱柱、正棱柱如果棱柱的侧棱垂直于底面,则可知棱柱所有的侧面都是长方形,这样的棱柱称为直棱柱(不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱),特别地,底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱课前篇自主预习定义多面体,有两个面互相平行,且该多面体的顶点都在这两个面上,其余各面都是平行四边形,这样的多面体称为棱柱三棱柱、四棱柱、五棱柱棱柱可以按底面的形状分类,例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱,可分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体,侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体.底面是矩形的直平行六面体就是以前我们学过的长方体,而棱长都相等的长方体就是正方体.在平行六面体中,相对的面都是互相平行的课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.①棱柱的侧面可以不是平行四边形.()②多面体的一个面可以是曲面.()③棱柱的棱都相等.()答案:①×②×③×(2)下面属于多面体的是(将正确答案的序号填在横线上).①建筑用的方砖;②埃及的金字塔;③茶杯;④球.答案:①②(3)一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,每个矩形的长和宽分别为6cm,4cm,则该棱柱的侧面积为.解析:棱柱的侧面积S侧=3×6×4=72(cm2).答案:72cm2课前篇自主预习二、棱锥与棱台1.思考(1)观察下列多面体,有什么共同特点?提示:有一个面是多边形;其余各面都是有一个公共顶点的三角形.课前篇自主预习(2)观察下列多面体,分析其与棱锥有何区别与联系?提示:①区别:有两个面相互平行.②联系:用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,其底面和截面之间的部分即为该几何体.(3)棱台的上下底面互相平行,各侧棱延长线一定相交于一点吗?提示:根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.课前篇自主预习2.填空(1)棱锥的概念定义如果一个多面体有一个面是多边形,且其余各面都是有一个公共顶点的三角形,则称这个多面体为棱锥底面、侧面、顶点、侧棱底面:是多边形的那个面称为棱锥的底面侧面:有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面顶点:各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点侧棱:相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱三棱锥、四棱锥、五棱锥棱锥可以按底面的形状分类,例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥,可分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥课前篇自主预习高、侧面积过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线,所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高,棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积正棱锥、斜高如果棱锥的底面是正多边形,且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面,则称这个棱锥为正棱锥.可以看出,正棱锥的侧面都全等,而且都是等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高也都相等,称为棱锥的斜高课前篇自主预习(2)棱台的概念定义一般地,用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,所得截面与底面间的多面体称为棱台上底面、下底面、侧面、侧棱、顶点上底面:原棱锥的截面下底面:原棱锥的底面侧面:其余各面侧棱:相邻两侧面的公共边顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点高、侧面积过棱台一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高,棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积课前篇自主预习三棱台、四棱台、五棱台棱台可以按底面的形状分类,例如底面是三角形、四边形、五边形的棱台,可分别称为三棱台、四棱台、五棱台正棱台、高、斜高由正棱锥截得的棱台称为正棱台.不难看出,正棱台上、下底面都是正多边形,两者中心的连线是棱台的高,而且,正棱台的侧面都全等,且都是等腰梯形,这些等腰梯形的高也都相等,称为棱台的斜高课前篇自主预习3.做一做(1)在三棱锥A-BCD中,可以当作棱锥底面的三角形的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:每个面都可作为底面,有4个.答案:D(2)(多选题)棱台具备的特点是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都平行D.侧棱延长后都交于一点解析:由棱台的定义和结构特征知C为棱台不具备的特点.答案:ABD课前篇自主预习(3)下面图形所表示的几何体中,不是棱锥的为()解析:A中不符合棱锥定义,不是棱锥,B为四棱锥,C、D均为五棱锥.答案:A课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测多面体的识别与判断例1如图所示为长方体ABCD-A'B'C'D',当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分形成的多面体还是棱柱吗?如果不是,请说明理由;如果是,指出底面及侧棱.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测解:条件为一个四棱柱被一个平面所截,观察所得几何体上、下底面的关系与侧棱间的位置关系,抓住图中线段EF和B'C'的位置关系,根据定义得出结论.截面BCFE右侧部分是棱柱,因为它满足棱柱的定义.它是三棱柱BEB'-CFC',其中△BEB'和△CFC'是底面,EF,B'C',BC是侧棱.截面BCFE左侧部分也是棱柱.它是四棱柱ABEA'-DCFD',其中四边形ABEA'和四边形DCFD'是底面.A'D',EF,BC,AD为侧棱.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测变式训练1如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF,PQ,则长方体被分成的三个几何体中,棱柱的个数是.解析:由棱柱的定义可得有3个.答案:3课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测棱柱的结构特征例2下列关于棱柱的说法:①所有的面都是平行四边形;②每一个面都不会是三角形;③两底面平行,并且各侧棱也平行;④被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中说法正确的序号是.解析:①错误,棱柱的底面不一定是平行四边形;②错误,三棱柱的底面是三角形;③正确,由棱柱的定义易知;④正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱,所以说法正确的序号是③④.答案:③④课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测变式训练2(多选题)下列四个命题中,真命题为()A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B.棱柱的各个侧面都是平行四边形C.棱柱的两底面是全等的多边形D.棱柱的面中,至少有两个面互相平行解析:A错,正六棱柱的两个相对的侧面互相平行,但不是棱柱的底面,B、C、D是正确的.答案:BCD课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测棱锥、棱台的结构特征例3下列几种说法中,正确的有()①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②棱台的侧面一定不会是平行四边形;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.A.0个B.1个C.2个D.3个解析:必须用一个平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分才是棱台,故①不正确;棱台的侧面一定是梯形,故②正确;③不一定是棱台,因为各条侧棱延长后不一定相交于一点,故③不正确.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测反思感悟关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法(1)举反例法.结合棱锥、棱台的定义举反例判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法.棱锥棱台定底面只有一个面是多边形,此面即为底面两个互相平行的面,即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测变式训练3下列关于棱锥、棱台的说法:①棱台的底面一定不会是平行四边形;②棱锥的侧面只能是三角形;③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中所有正确说法的序号是.解析:①不正确,棱台的底面可以是平行四边形还可以是其它多边形;②正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;③正确;④错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.答案:②③课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测多面体的侧面积或表面积例4(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,∠AA1B1=∠AA1C1=60°,∠BB1C1=90°,侧棱长为b,则其侧面积为()A.33𝑎𝑏4B.3+22abC.(3+2)abD.23+22ab课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测解析:如图,由已知条件可知,侧面AA1B1B和侧面AA1C1C为一般的平行四边形,侧面BB1C1C为矩形.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=a,∴BC=2a.∴𝑆矩形𝐵𝐶𝐶1𝐵1=2a·b=2ab.∵∠AA1B1=∠AA1C1=60°,AB=AC=a,∴点B到直线AA1的距离为asin60°=32a.∴𝑆▱𝐴𝐴1𝐵1𝐵=𝑆▱𝐴𝐴1𝐶1𝐶=b·32a=32ab.∴S侧=2×32ab+2ab=(3+2)ab.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测(2)如图,已知四棱锥S-ABCD的棱长均为5,底面为正方形,求它的侧面积和表面积.解:因为四棱锥S-ABCD的各棱长均为5,所以各侧面都是全等的正三角形.设E为AB的中点,连接SE,则SE⊥AB,S侧=4S△ABS=4×12AB×SE=2×5×52-522=253,S底=52=25,所以S表面积=25+253.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测(3)已知正四棱台(上、下底是正方形,上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6,高和下底面边长都是12,求它的侧面积.解:如图,E、E1分别是BC、B1C1的中点,O、O1分别是下、上底面正方形的中心,则O1O为正四棱台的高,则O1O=12.连接OE、O1E1,则OE=12AB=12×12=6,O1E1=12A1B1=3.过E1作E1H⊥OE,垂足为H,则E1H=O1O=12,OH=O1E1=3,HE=OE-OH=6-3=3.在Rt△E1HE中,E1E2=E1H2+HE2=122+32=32×17,所以E1E=317.所以S侧=4×12×(B1C1+BC)×E1E=2×(6+12)×317=10817.课堂篇探究学习探究一探究二
本文标题:2020新教材高中数学 第十一章 立体几何初步 11.1.3 多面体与棱柱 11.1.4 棱锥与棱台
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