2020版高中数学 第一讲 坐标系 1.3 简单曲线的极坐标方程课件 新人教A版选修4-4

-1-三简单曲线的极坐标方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线,过极点或圆心在极点的圆)的方程.2.通过比较简单图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,体会用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.圆的极坐标方程(1)曲线C的极坐标方程:一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程.名师点拨1.由于平面内点的极坐标的表示形式不唯一,因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处.一条曲线上点的极坐标有多个表示形式,这里要求至少有一个能满足极坐标方程.有些表示形式可能不满足方程.2.今后我们遇到的极坐标方程多是ρ=ρ(θ)的形式,即ρ为θ的一个函数.3.在极坐标系中,由点的对称性可得极坐标方程ρ=ρ(θ)的图形的对称性:若ρ(θ)=ρ(-θ),则相应图形关于极轴对称;若ρ(θ)=ρ(π-θ),则图形关于过极点且垂直于极轴的直线对称;若ρ(θ)=ρ(π+θ),则图形关于极点对称.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(2)若圆经过极点O,圆心坐标是C(a,0)(a0),则圆的极坐标方程是ρ=2acosθ.【做一做1-1】极坐标方程ρ=1表示()A.直线B.射线C.圆D.椭圆答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1-2】在极坐标系中,极点为O,求圆心为𝐴8,π3,半径为5的圆的方程.解:在圆上任取一点P(ρ,θ),连接OP,PA,则在△AOP中,|OA|=8,|AP|=5,∠AOP=π3−𝜃或∠AOP=θ−π3.由余弦定理得cos∠AOP=82+𝜌2-522×8×𝜌,即ρ2-16ρcos𝜃-π3+39=0.故所求圆的极坐标方程为ρ2-16ρcos𝜃-π3+39=0.名师点拨求平面曲线的极坐标方程,就是要找极径ρ和极角θ之间的关系,常用解三角形(正弦定理、余弦定理)的知识、利用三角形的面积相等等来建立ρ,θ之间的关系.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.直线的极坐标方程(1)直线l经过极点,从极轴到直线l的角是α,则直线l的极坐标方程为θ=α或θ=α+π(ρ∈R).【做一做2-1】极坐标方程sinθ=13(𝜌∈R)表示的曲线是()A.两条相交直线B.两条射线C.一条直线D.一条射线答案:A【做一做2-2】曲线θ=0,θ=π2(𝜌≥0)和ρ=4所围成图形的面积是.答案:4πZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做2-3】极坐标方程ρcosθ=sin2θ所表示的曲线是.解析:∵ρcosθ=sin2θ=2sinθcosθ,∴cosθ=0或ρ=2sinθ.cosθ=0表示一条直线,ρ=2sinθ=2cos𝜃-π2表示圆心为1,π2,半径为1的圆.答案:一条直线和一个圆(2)若ρ0,则-ρ0,我们规定点M(ρ,θ)与点P(-ρ,θ)关于极点对称.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.直角坐标系与极坐标系的区别剖析(1)在直角坐标系中,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只看作一个方程).可是在极坐标系中,虽然是一个方程只能与一条曲线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应,所以曲线和它的方程不是一一对应的.(2)在直角坐标系中,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,可是在极坐标系中,曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如给定曲线ρ=θ,设点P的一个极坐标为π4,π4,那么点P适合方程ρ=θ,从而是曲线上的一个点,但点P的另一个极坐标π4,9π4就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系中,确定某一个点P是否在某一条曲线C上,只需判断点P的极坐标中是否有一种形式适合曲线C的方程即可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.求极坐标方程的步骤剖析求曲线的极坐标方程的步骤与求直角坐标方程的步骤类似,就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹.将已知条件用曲线上的点的极坐标ρ,θ的关系式f(ρ,θ)=0表示出来,就得到曲线的极坐标方程,具体如下:(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上的任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程,若方程的推导过程正确,化简过程都是同解变形,证明可以省略.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航3.常见的直线和圆的极坐标方程剖析(1)直线的极坐标方程(a0).①过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:θ=α(ρ∈R)或θ=α+π(ρ∈R);②垂直于极轴且和极点间的距离为a的直线的极坐标方程:ρcosθ=a;③平行于极轴且和极轴间的距离为a的直线的极坐标方程:ρsinθ=±a;④不经过极点,和极轴成α角,与极点间的距离为a的直线的极坐标方程:ρsin(α-θ)=a.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(2)圆的极坐标方程(a0).①圆心在极点,半径为a的圆的极坐标方程:ρ=a;②圆心在(a,0),半径为a的圆的极坐标方程:ρ=2acosθ;③圆心在(a,π),半径为a的圆的极坐标方程:ρ=-2acosθ;④圆心在𝑎,π2,半径为a的圆的极坐标方程:ρ=2asinθ;⑤圆心在𝑎,3π2,半径为a的圆的极坐标方程:ρ=-2asinθ;⑥圆心在(a,θ0),半径为a的圆的极坐标方程:ρ=2acos(θ-θ0).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四圆的极坐标方程【例1】求圆心在点𝐴2,3π2,并且过极点的圆的极坐标方程,并把它化为直角坐标方程.分析:按求极坐标方程的步骤逐一完成.解:如图,OB为一条直径,设M(ρ,θ)为圆上除O,B外的任意一点,连接OM,MB,则有|OB|=4,|OM|=ρ,∠MOB=𝜃-3π2,∠BMO=π2.从而△BOM为直角三角形,所以有|OM|=|OB|cos∠MOB,即ρ=4cos𝜃-3π2=−4sinθ.由于点O(0,0),𝐵4,3π2也适合此方程,故所求圆的极坐标方程为ρ=-4sinθ.将其化为直角坐标方程为x2+y2+4y=0.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】求圆心在A(2,0)、半径为1的圆的极坐标方程.解:如图,在圆上取任意一点M(ρ,θ)(ρ0),连接OM,MA.在△OMA中,由余弦定理可知|AM|2=|OM|2+|OA|2-2·|OM|·|OA|·cos∠AOM,所以有1=ρ2+4-4ρcosθ,即ρ2-4ρcosθ+3=0.故所求的圆心在A(2,0)、半径为1的圆的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+3=0.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四直线的极坐标方程【例2】求过点A(1,0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程.分析:本题可用两种解法求解:(1)先根据题意画出草图,并设点M(ρ,θ)是直线上除点A外的任意一点,从而由等量关系建立关于ρ,θ的方程并化简,最后检验是否是所求即可;(2)先由已知条件写出直线的点斜式的直角坐标方程,再由公式𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃化为极坐标方程即可.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解法一如图,设M(ρ,θ)为直线上除点A以外的任意一点,连接OM,则∠xAM=π4,∠OAM=3π4,∠OMA=π4−𝜃.在△OAM中,由正弦定理得|𝑂𝑀|sin∠𝑂𝐴𝑀=|𝑂𝐴|sin∠𝑂𝑀𝐴,即𝜌sin3π4=1sinπ4-𝜃,所以ρsinπ4-𝜃=22,即𝜌sinπ4cos𝜃-cosπ4sin𝜃=22,化简,得ρ(cosθ-sinθ)=1.经检验,点A(1,0)的坐标适合上述方程.故满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cosθ-sinθ)=1.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解法二以极点为直角坐标系的原点O,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系xOy,由题意知直线的斜率k=tanπ4=1,直线方程y=x-1.将y=ρsinθ,x=ρcosθ代入上式,得ρsinθ=ρcosθ-1,所以ρ(cosθ-sinθ)=1.故所求的直线的极坐标方程为ρ(cosθ-sinθ)=1.反思解法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式,从而建立了以ρ,θ为未知数的方程;解法二先求出直线的直角坐标方程,再通过利用直角坐标向极坐标的转化公式间接求解.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】求经过点𝑀22,π4且垂直于极轴的直线𝑙的极坐标方程.解:如图,设P(ρ,θ)为l上除点M外的任意一点,连接OP,OM.设直线l与极轴相交于点A,则在Rt△AOM中,|OA|=|OM|cosπ4=22×22=2.在Rt△PAO中,|OP|cosθ=|OA|,即ρcosθ=2.由于点𝑀22,π4适合上述方程,故所求直线l的极坐标方程为ρcosθ=2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四直角坐标方程与极坐标方程的互化【例3】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:(1)射线y=3𝑥(𝑥≤0);(2)圆x2+y2+2ax=0(a≠0).分析:由公式𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃化简即可.解:(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y=3𝑥,得ρsinθ=3𝜌cosθ.当ρ≠0时,tanθ=3,∴θ=π3或𝜃=4π3.∵x≤0,∴ρcosθ≤0,∴θ=4π3.由于射线过极点,故射线y=3𝑥(𝑥≤0)的极坐标方程为θ=4