2020版高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.1 比较法课件 新人教A版选修4-5

-1-第二讲证明不等式的基本方法-2-一比较法目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.理解作差比较法和作商比较法.2.用比较法证明不等式.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1231.比较法的种类比较法一般分为两种:作差比较法和作商比较法.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1232.作差比较法(1)作差比较法的证明依据:①ab⇔a-b0;②a=b⇔a-b=0;③ab⇔a-b0.(2)基本步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论.归纳总结用作差比较法证明不等式时,要判断不等式两边差的符号,对不等式两边求差后,要通过配方、因式分解、通分等,对所得代数式进行变形,得到一个能够明显看得出其符号的代数式,进而得出证明.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析123【做一做1-1】当ab0时,下列关系式成立的是()A.𝑎2𝑏2B.lg𝑏2lg𝑎2C.𝑏𝑎1D.12𝑎212𝑏2解析：方法一:取特殊值a=-4,b=-1,则知选项A,C,D不正确,选项B正确,故选B;方法二:∵ab0,∴a2b2.而函数y=lgx(x0)为增函数,∴lgb2lga2,B项正确.答案：B目标导航知识梳理重难聚焦典例透析123【做一做1-2】若P=2,𝑄=6−2,𝑅=7−3,则𝑃,𝑄,𝑅的大小关系是()A.PQRB.PRQC.QPRD.QRP解析：∵2+2=226,∴26−2,即PQ.∵6+37+2,∴6−27−3,即QR.∴PQR.答案：A目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1233.作商比较法(1)作商比较法的证明依据:当a,b0时,𝑎=𝑏⇔𝑎𝑏=1,𝑎𝑏⇔𝑎𝑏1,𝑎𝑏⇔𝑎𝑏1.(2)基本步骤:①作商;②变形;③判断与“1”的大小;④下结论.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析123【做一做2】比较大小:log1213log1312.解析:log1213log1312=log1213·log1213=log12132.∵log1213log1212=1,∴log121321.又log12130,log13120,∴log1213log1312.答案:知识梳理重难聚焦典例透析目标导航121.作差比较法证明不等式的一般步骤剖析(1)作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差.(2)变形:将差式进行变形,变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方和等.(3)判断符号:根据已知条件与上述变形结果,判断差的正负号.(4)结论:根据差的正负号下结论.知识拓展若差式的符号不能确定,一般是与某些字母的取值有关时,则需对这些字母进行讨论.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航122.作商比较法中的符号问题的确定剖析在作商比较法中,𝑏𝑎1⇒ba是不正确的,这与a,b的符号有关,比如,若a,b0,由𝑏𝑎1,可得ba;若a,b0,则由𝑏𝑎1得出的反而是ba,也就是说,在作商比较法中,要对a,b的符号作出判断.否则,结论可能是错误的.名师点拨使用作商比较法时,一定要注意不等式两边的式子均为正值,若均为负值时,可先同乘-1,转化后再进行证明.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型一利用作差比较法证明不等式【例1】已知a≥1,求证:𝑎+1−𝑎𝑎−𝑎-1.分析：因不等式的两边进行分子有理化相减后,可判断差的符号,故可用作差比较法进行证明.证明：∵(𝑎+1−𝑎)−(𝑎−𝑎-1)=1𝑎+1+𝑎−1𝑎+𝑎-1=𝑎-1-𝑎+1(𝑎+1+𝑎)(𝑎+𝑎-1)0,∴𝑎+1−𝑎𝑎−𝑎-1.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三反思根据左、右两边都含无理式的特点,也可以采取两边平方的方法来比较,但是应先判断不等式两边的符号,当不等式两边都大于0时,两边平方是等价变形,当不等式两边都小于0时,两边平方后要改变不等号的方向.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】已知a,b,c∈R+,求证:lg𝑐𝑎·lg𝑐𝑏≥lg𝑎𝑏·lg𝑏𝑎.分析：将商的对数化成对数的差,就是“化整为零”,有利于符号的确定.证明：∵lg𝑐𝑎·lg𝑐𝑏−lg𝑎𝑏·lg𝑏𝑎=(lgc-lga)(lgc-lgb)−14(lga-lgb)(lgb-lga)=lg2c-(lga+lgb)lgc+lgalgb+14(lga-lgb)2=lg2c-(lgab)lgc+14(lga+lgb)2=lg𝑐-12lg(𝑎𝑏)2≥0,∴lg𝑐𝑎·lg𝑐𝑏≥lg𝑎𝑏·lg𝑏𝑎.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型二利用作商比较法证明不等式【例2】已知a0,b0,求证:𝑎𝑏+𝑏𝑎≥𝑎+𝑏.分析：因为a,b均为正数,所以不等式左边和右边都是正数,故可以用作商比较法进行比较.证明:∵𝑎𝑏+𝑏𝑎𝑎+𝑏=𝑎𝑏𝑎+𝑏+𝑏𝑎𝑎+𝑏=𝑎𝑎𝑏+𝑏+𝑏𝑎𝑏+𝑎=𝑎𝑎𝑏+𝑎2+𝑏𝑎𝑏+𝑏22𝑎𝑏+(𝑎+𝑏)𝑎𝑏=𝑎2+𝑏2+(𝑎+𝑏)𝑎𝑏2𝑎𝑏+(𝑎+𝑏)𝑎𝑏,知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三又a2+b2≥2ab,∴𝑎2+𝑏2+(𝑎+𝑏)𝑎𝑏2𝑎𝑏+(𝑎+𝑏)𝑎𝑏≥2𝑎𝑏+(𝑎+𝑏)𝑎𝑏2𝑎𝑏+(𝑎+𝑏)𝑎𝑏=1,当且仅当a=b0时,等号成立.∵a0,b0,∴𝑎𝑏+𝑏𝑎0,𝑎+𝑏0,∴𝑎𝑏+𝑏𝑎≥𝑎+𝑏.反思作商比较法的前提条件是两个数a,b都大于0,对𝑎𝑏进行整理,直到能清晰看出𝑎𝑏与1的大小关系为止.在运算过程中注意运用计算技巧.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】已知a0,b0,A=𝑎+𝑏2𝑎𝑏,𝐵=2𝑎+𝑏,求证:𝐴≥B.证明:∵a0,b0,∴A0,B0.∴𝐴𝐵=𝑎+𝑏2𝑎𝑏2𝑎+𝑏=𝑎+𝑏2𝑎𝑏·𝑎+𝑏2=(𝑎+𝑏)24𝑎𝑏≥4𝑎𝑏4𝑎𝑏=1,当且仅当a=b时,等号成立.∴A≥B.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型三比较法在综合题目中的应用【例3】已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N+).(1)证明：数列{an+1}是等比数列;(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f'(1),并比较2f'(1)与23n2-13n的大小.分析：在比较大小时,作差法的差式与“n”的取值有关,且大小关系随“n”的变化而变化.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三(1)证明:∵Sn+1=2Sn+n+5,①∴当n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4,②①②两式相减,得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即an+1=2an+1,从而an+1+1=2(an+1).当n=1时,S2=2S1+1+5,∴a1+a2=2a1+6.又a1=5,∴a2=11,从而a2+1=2(a1+1).故总有an+1+1=2(an+1),n∈N+.由a1=5,得an+1≠0,从而𝑎𝑛+1+1𝑎𝑛+1=2,即数列{an+1}是以a1+1=6为首项,2为公比的等比数列.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三(2)解:由(1)可知an=3×2n-1.∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,∴f'(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1.从而f'(1)=a1+2a2+…+nan=(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1)=3(2+2×22+…+n×2n)-(1+2+3+…+n)=3[n×2n+1-(2+22+…+2n)]−𝑛(𝑛+1)2=3(n×2n+1-2n+1+2)−𝑛(𝑛+1)2=3(n-1)·2n+1−𝑛(𝑛+1)2+6.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三则2f'(1)-(23n2-13n)=12(n-1)·2n-12(2n2-n-1)=12(n-1)·2n-12(n-1)(2n+1)=12(n-1)[2n-(2n+1)].(*)当n=1时,(*)式=0,∴2f'(1)=23n2-13n;当n=2时,(*)式=-120,∴2f'(1)23n2-13n;当n≥3时,n-10.令f(n)=2n-(2n+1),则f'(n)=2nln2-2,此时f'(n)0.又f(3)0,∴当n≥3时,2n2n+1.∴(n-1)[2n-(2n+1)]0,即(*)式0,从而2f'(1)23n2-13n.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三反思此类比较大小的题目是典型的结论不唯一的题目.在数列中,大小问题可能会随“n”的变化而变化.往往n=1,2,…,前几个自然数对应的值与后面n≥n0的值大小不一样,这就要求在解答这样的题目时,要时刻有“大小关系不一定唯一”的念头,即时刻提醒自己所求解的问题是否需要讨论.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三【变式训练3】已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点(𝑎𝑛,𝑎𝑛+1)(𝑛∈N+)在函数y=x2+1的图象上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2𝑎𝑛,求证:𝑏𝑛·bn+2𝑏𝑛+12.(1)解:由已知得an+1=an+1,即an+1-an=1.又a1=1,所以数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列.故an=1+(n-1)×1=n.(2)证明：由(1)知an=n,从而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+…+2+1=1-2𝑛1-2=2𝑛−1.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三因为bn·bn+2−𝑏𝑛+12=2𝑛−12𝑛+2−1−2𝑛+1−12=(22𝑛+2−2𝑛+2−2𝑛+1)−(22𝑛+2−2·2n+1+1)=-5·2n+4·2n=-2n0,所以bn·bn+2𝑏𝑛+12.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航