2020版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件第一章集合与常用逻辑用语NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.命题用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题，其中的语句叫做真命题，的语句叫做假命题.判断真假判断为真判断为假知识梳理ZHISHISHULI2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系若q，则p若綈p,则綈q若綈q,则綈p(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性.相同没有关系若p⇒q，则p是q的条件，q是p的条件p是q的条件p⇒q且q⇏pp是q的条件p⇏q且q⇒pp是q的条件p⇔qp是q的条件p⇏q且q⇏p3.充分条件、必要条件与充要条件的概念充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系.提示若AB，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件.【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“对顶角相等”是命题.()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.()√×√√基础自测JICHUZICE123456题组二教材改编2.下列命题是真命题的是A.矩形的对角线相等B.若ab，cd，则acbdC.若整数a是素数，则a是奇数D.命题“若x20，则x1”的逆否命题√1234563.命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________.两直线不平行，同位角不相等1234564.“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)123456充分不必要5.设x0，y∈R，则“xy”是“x|y|”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析xy⇏x|y|(如x＝1，y＝－2)，但当x|y|时，能有xy.∴“xy”是“x|y|”的必要不充分条件.123456题组三易错自纠√6.已知p：xa是q：2x3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__________.(－∞，2]解析由已知，可得{x|2x3}{x|xa}，∴a≤2.1234562题型分类深度剖析PARTTWO1.已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的方差也相等；③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝12相切.其中真命题的序号是______.①③题型一命题及其关系自主演练2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是A.不拥有的人们会幸福B.幸福的人们不都拥有C.拥有的人们不幸福D.不拥有的人们不幸福√3.有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题.其中真命题为________.(填写所有真命题的序号)①②③4.设m∈R，命题“若m0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是____________________________________.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.思维升华解析取α＝7π3，β＝π3，αβ成立，而sinα＝sinβ，sinαsinβ不成立.题型二充分、必要条件的判定例1(1)已知α，β均为第一象限角，那么“αβ”是“sinαsinβ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√∴充分性不成立；师生共研取α＝π3，β＝13π6，sinαsinβ，但αβ，必要性不成立.故“αβ”是“sinαsinβ”的既不充分也不必要条件.(2)已知条件p：x1或x－3，条件q：5x－6x2，则綈p是綈q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√解析由5x－6x2，得2x3，即q：2x3.所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.思维升华跟踪训练1(1)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件解析非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件.√解析a∥b⇔sin2θ＝cos2θ⇔cosθ＝0或2sinθ＝cosθ⇔cosθ＝0或tanθ＝12，(2)设向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，则“a∥b”是“tanθ＝成立”的______________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)必要不充分12所以“a∥b”是“tanθ＝12成立”的必要不充分条件.题型三充分、必要条件的应用例2已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.师生共研解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}.由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则1－m≤1＋m，1－m≥－2，∴0≤m≤3.1＋m≤10，∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.解若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴1－m＝－2，1＋m＝10，方程组无解，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.引申探究充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.思维升华跟踪训练2(1)若“x2m2－3”是“－1x4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是__________.[－1,1]解析依题意，可得(－1,4)(2m2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.3或4解析由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N＋，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.(2)设n∈N＋，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝_____.逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质.核心素养之逻辑推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI利用充要条件求参数范围0，12例已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.素养提升例题中得到实数a的范围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰.3课时作业PARTTHREE1.命题“若a－3，则a－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为A.1B.2C.3D.4√基础保分练12345678910111213141516解析原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a－6，则a－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此4个命题中有2个假命题.2.已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定解析命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题.√12345678910111213141516x－12≥12，即“x31”⇏“x－1212”.所以“x－1212”是“x31”的充分不必要条件.故选A.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√123456789101112131415163.(2018·天津)设x∈R，则“x－1212”是“x31”的解析由x－1212，得0x1，则0x31，即“x－1212”⇒“x31”；由x31，得x1，当x≤0时，4.(2018·抚顺模拟)设a，b∈R，则“(a－b)a20”是“ab”的A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析由(a－b)a20可知a2≠0，则一定有a－b0，即ab；但ab即a－b0时，有可能a＝0，所以(a－b)a20不一定成立，故“(a－b)a20”是“ab”的充分不必要条件，故选A.√123456789101112131415165.有下列命题：①“若x＋y0，则x0且y0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋30的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题.其中正确的是A.①②③B.②③④C.①③④D.①④√123456789101112131415166.(2018·包头模拟)“log2(2x－3)1”是“4x8”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件所以“log2(2x－3)1”是“4x8”的充分不必要条件，故选A.√12345678910111213141516解析由log2(2x－3)1⇒02x－32⇒32x52，4x8⇒2x3⇒x32，7.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4＋S62S5”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件√123456789101112131415168.“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是A.－1≤k3B.－1≤k≤3C.0k3D.k－1或k3四个选项中只有(0,3)是(－1,3)的真子集，故充分不必要条件可以是“0k3”.√12345678910111213141516解析直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k|22，解得k∈(－1,3).9.有下列几个命题：