2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.4 平面向量的综合应用课件 文 新人教A版

§5.4平面向量的综合应用第五章平面向量与复数NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题平行向量基本定理a∥b⇔⇔，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔⇔，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量知识梳理1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：ZHISHISHULIx1y2－x2y1＝0x1x2＋y1y2＝0a＝λba·b＝0夹角问题数量积的定义cosθ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量a·b|a||b|a2x2＋y2(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题―――――→设向量向量问题――――→运算解决向量问题――――→还原解决几何问题.2.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.3.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.1.根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？【概念方法微思考】提示(1)线段的长度问题.(2)直线或线段平行问题.(3)直线或线段垂直问题.(4)角的问题等.2.如何用向量解决平面几何问题？提示用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系.(1)若AB→∥AC→，则A，B，C三点共线.()(2)在△ABC中，若AB→·BC→0，则△ABC为钝角三角形.()(3)若平面四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则该四边形一定是菱形.()题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)√×123456√基础自测JICHUZICE(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP→＝OA→＋t(AB→＋AC→)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.()√123456解析AB→＝(2，－2)，AC→＝(－4，－8)，BC→＝(－6，－6)，∴|AB→|＝22＋－22＝22，|AC→|＝16＋64＝45，|BC→|＝36＋36＝62，∴|AB→|2＋|BC→|2＝|AC→|2，题组二教材改编2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形√∴△ABC为直角三角形.1234563.平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP→·OA→＝4，则点P的轨迹方程是____________.x＋2y－4＝0123456解析由OP→·OA→＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.123456题组三易错自纠4.在△ABC中，已知AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________________.－23或113或3±1321234565.在四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，则该四边形的面积为_____.5所以四边形ABCD的面积为12|AC→|·|BD→|＝12×5×20＝5.解析依题意得AC→·BD→＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC→⊥BD→，6.已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为坐标原点，则AO→·AP→的最大值为______.12345662题型分类深度剖析PARTTWO题型一向量在平面几何中的应用师生共研例1(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，若AB→·AC→＝2AB→·AD→，则AD→·AC→＝______.12(2)在△ABC中，AB＝2AC＝6，BA→·BC→＝BA→2，点P是△ABC所在平面内一点，则当PA→2＋PB→2＋PC→2取得最小值时，AP→·BC→＝______.－9向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示.(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.思维升华A.3B.4C.5D.6√跟踪训练1(1)已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝23，AC＝22，A为钝角，M是BC边的中点，则AM→·AO→等于(2)(2018·乌海模拟)在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则PA→·PB→＋PA→·PC→的最小值为A.1B.2C.－2D.－1√例2(1)已知正三角形ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足|AP→|＝1，PM→＝MC→，则|BM→|2的最大值是A.434B.494C.37＋634D.37＋2334题型二向量在解析几何中的应用√师生共研(2)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若PA→·PB→≤20，则点P的横坐标的取值范围是____________.[－52，1]向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.思维升华跟踪训练2(2019·沈阳质检)已知圆C：x2＋y2－2x－23y＋3＝0，点A(0，m)(m0)，A，B两点关于x轴对称.若圆C上存在点M，使得AM→·BM→＝0，则当m取得最大值时，点M的坐标是A.32，322B.322，32C.32，332D.332，32√例3已知O是坐标原点，点A(－1,2)，若点M(x，y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是题型三向量的其他应用A.[－1,0]B.[0,1]C.[1,3]D.[1,4]多维探究√命题点1向量在不等式中的应用例4(2019·赤峰模拟)在△ABC中，若|AC→|＝23，且AB→·cosC＋BC→·cosA＝AC→·sinB.(1)求角B的大小；命题点2向量在解三角形中的应用(2)求△ABC的面积.解由(1)知，A＝C＝π6，由正弦定理，得|AC→|sin2π3＝|BC→|sinπ6，所以|BC→|＝2，S△ABC＝12|AC→||BC→|sinπ6＝12×23×2×12＝3.利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.思维升华跟踪训练3在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝cosB，2cos2C2－1，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.(1)求∠C的大小；解因为m＝(cosB，cosC)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，所以ccosB＋(b－2a)cosC＝0，在△ABC中，由正弦定理得，sinCcosB＋(sinB－2sinA)cosC＝0，sinA＝2sinAcosC，又sinA≠0，所以cosC＝12，而C∈(0，π)，所以∠C＝π3.两边平方得4|CD→|2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①(2)若点D为边AB上一点，且满足AD→＝DB→，|CD→|＝7，c＝23，求△ABC的面积.解由AD→＝DB→知，CD→－CA→＝CB→－CD→，所以2CD→＝CA→＋CB→，又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，所以a2＋b2－ab＝12.②由①②得ab＝8，所以S△ABC＝12absin∠ACB＝23.3课时作业PARTTHREE1.在△ABC中，则△ABC的形状一定是A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，基础保分练√解析由(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，得AC→·(BC→＋BA→－AC→)＝0，即AC→·(BC→＋BA→＋CA→)＝0，2AC→·BA→＝0，∴AC→⊥BA→，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到|AB→|＝|AC→|，故△ABC一定是直角三角形.12345678910111213141516解析AM→·NM→＝(AB→＋BM→)·(NC→＋CM→)＝AB→＋23AD→·12AB→－13AD→＝12AB→2－29AD→2＝12×82－29×62＝24，故选C.2.在▱ABCD中，|AB→|＝8，|AD→|＝6，N为DC的中点，BM→＝2MC→，则AM→·NM→等于A.48B.36C.24D.12√12345678910111213141516A.正三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形√123456789101112131415163.已知△ABC满足AB→|AB→|－AC→|AC→|＝kBC→(其中k是常数)，则△ABC的形状一定是即cosθ12，所以θ∈π3，π.4.(2018·朝阳模拟)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，若函数f(x)＝13x3＋12|a|x2＋a·bx＋1在R上存在极值，则a和b夹角的取值范围为A.0，π6B.π3，πC.π3，2π3D.π3，π√12345678910111213141516解析f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b，设a和b的夹角为θ，因为f(x)有极值，所以Δ＝|a|2－4a·b0，即Δ＝|a|2－4|a|·|b|·cosθ0，则|AC|＝4，∴由中位线的性质，有p＝12|AC|＝2，解析如图所示，由AF→＝FB→，得F为线段AB的中点，由BA→·BC→＝48，得|BC|＝43.5.过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若则抛物线的方程为A.y2＝8xB.y2＝4xC.y2＝16xD.y2＝√12345678910111213141516AF→＝FB→，BA→·BC→＝48，42x∵|AF|＝|AC|，∴∠ABC＝30°，故抛物线的方程为y2＝4x.故选B.6.(2019·辽阳测试)在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，动点P和Q分别在线段BC和CD上，且BP→＝λBC→，DQ→＝18λDC→，则AP→·BQ→的最大值为A.－2B.－32C.34D.98√123456789101112131415167.在菱形ABCD中，若AC＝4，则CA→·AB→＝______.解析设∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，由余弦定理得a2＝16＋a2－8acosθ，∴acosθ＝2，12345678910111213141516∴CA→·AB→＝4×a×cos(π－θ)＝－4acosθ＝－8.－8123456789101112131415168.已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是____.即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，∴cosθ＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.解析由已知可