2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数课

§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数第四章三角函数、解三角形NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理ZHISHISHULI1.角的概念(1)角的分类(按旋转的方向)角正角：按照方向旋转而成的角.负角：按照方向旋转而成的角.：射线没有旋转.逆时针顺时针零角(2)象限角象限角象限角α的集合表示第一象限角______________________________第二象限角___________________________________第三象限角____________________________________第四象限角____________________________________{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}{α|k·360°＋90°αk·360°＋180°，k∈Z}{α|k·360°＋180°αk·360°＋270°，k∈Z}{α|k·360°＋270°αk·360°＋360°，k∈Z}(3)终边相同的角所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝.2.弧度制(1)定义：长度等于长的圆弧所对的圆心角叫做的角，正角的弧度数是，负角的弧度数是，零角的弧度数是.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝rad,1°＝rad，1rad＝.(3)扇形的弧长公式：l＝，扇形的面积公式：S＝＝.{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}半径1弧度正数负数零π|α|rπ180180π°12lr12|α|r23.任意角的三角函数的定义α为任意角，α的终边上任意一点P(异于原点)的坐标(x，y)，它与原点的距离OP＝r＝(r0)，则sinα＝；cosα＝；tanα＝；cotα＝；secα＝；cscα＝.x2＋y2yrxryxxyrxry4.三角函数在各象限的符号规律及三角函数线(1)三角函数在各象限的符号：象限符号函数ⅠⅡⅢⅣsinα，cscα＋＋－－cosα，secα＋－－＋tanα，cotα＋－＋－(2)三角函数线：正弦线如图，角α的正弦线为.余弦线如图，角α的余弦线为.正切线如图，角α的正切线为.MP→OM→AT→1.总结一下三角函数值在各象限的符号规律.提示一全正、二正弦、三正切、四余弦.2.三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？【概念方法微思考】提示设点P到原点O的距离为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0).题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.()(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()(3)不相等的角终边一定不相同.()(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα1.()×√×√基础自测JICHUZICE12345678题组二教材改编－5π42.角－225°＝弧度，这个角在第象限.二3.若角α的终边经过点Q－22，22，则sinα＝，cosα＝.22－224.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为弧度.π312345678解析当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.5.集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是√12345678题组三易错自纠6.已知点P32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3解析因为点P32，－12在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tanθ＝－1232＝－33，又θ∈3π2，2π，所以θ＝11π6.√123456787.在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是.2π3解析与角－4π3终边相同的角是2kπ＋－4π3(k∈Z)，令k＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3.123456788.(2018·赤峰模拟)函数y＝2cosx－1的定义域为.解析∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12.2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z).123456782题型分类深度剖析PARTTWO1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋9π4(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋5π4(k∈Z)题型一角及其表示√自主演练解析与角9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.2.设集合M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z，那么A.M＝NB.M⊆NC.N⊆MD.M∩N＝∅解析由于M中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；故选B.√而N中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，3.(2018·沈阳质检)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为.－53π，－23π，π3，43π解析如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，3故满足条件的角α构成的集合为－53π，－23π，π3，43π.4.若角α是第二象限角，则是第象限角.∴π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπα2π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角.α2综上，α2是第一或第三象限角.一或三解析∵α是第二象限角，(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.思维升华(2)确定kα，αk(k∈N＋)的终边位置的方法先写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值确定kα或αk的终边所在位置.题型二弧度制及其应用例1已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝π3，R＝10cm，求扇形的面积.师生共研解由已知得α＝π3，R＝10cm，∴S扇形＝12α·R2＝12·π3·102＝50π3(cm2).1.若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.引申探究解l＝α·R＝π3×10＝10π3(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝12·l·R－12·R2·sinπ3＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm2).2.若例题条件改为：“若扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，解由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0R10).所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.思维升华A.π6B.π3C.3D.3跟踪训练1(1)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为解析如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，√则线段AB所对的圆心角∠AOB＝2π3，作OM⊥AB，垂足为M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝π3，∴AM＝32r，AB＝3r，∴l＝3r，由弧长公式得α＝lr＝3rr＝3.(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的面积等于圆面积的则扇形的弧长与圆周长之比为.23，527，518解析设圆的半径为r，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，由扇形面积等于圆面积的527，可得12α2r32πr2＝527，解得α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为lC＝5π6·2r32πr＝518.例2(1)(2018·抚顺模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为P－12，y，则sinα·tanα等于A.－33B.±33C.－32D.±32题型三三角函数的概念命题点1三角函数定义的应用√多维探究解析sinθ＝m16＋m2＝35，且m0，解得m＝3.(2)(2018·通辽调研)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sinθ＝35，则m等于A.－3B.3C.163D.±3√解析作直线x＝－12交单位圆于C，D两点，例3(1)满足cosα≤－的角的集合是.连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，命题点2三角函数线12α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z故满足条件的角α的集合为α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.(2)若从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小关系是.解析如图，作出角α的正弦线观察可知sinαcosαtanα.－3π4α－π2，sinαcosαtanαMP→，余弦线OM→，正切线AT→，(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.思维升华跟踪训练2(1)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα0.则实数a的取值范围是A.(－2,3]B.(－2,3)C.[－2,3)D.[－2,3]解析∵cosα≤0，sinα0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.√∴3a－9≤0，a＋20，∴－2a≤3.A.π4，π2∪π，5π4B.π4，πC.π4，5π4D.π4，π∪5π4，3π2(2)在(0,2π)内，使得sinxcosx成立的x的取值范围是√3课时作业PARTTHREE1.下列说法中正确的是A.第一象限角一定不是负角B.不相等的角，它们的终边必不相同C.钝角一定是第二象限角D.终边与始边均相同的两个角一定相等解析因为－330°＝－360°＋30°，所以－330°角是第一象限角，且是负角，所以A错误；同理－330°角和30°角不相等，但它们终边相同，所以B错误；因为钝角的取值范围为(90°，180°)，所以C正确；0°角和360°角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误.√基础保分练123456789101112131415162.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是A.1B.4C.1或4D.2或4则2r＋l＝6，12rl＝2，解得r＝1，l＝4或r＝2，l＝2.解析设扇形的半径为r，弧长为l，√12345678910111213141516从而α＝lr＝41＝4或α＝lr＝22＝1.12345678910111213141516A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角√3.设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是解析由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限