2020版高考数学大一轮复习 第十三章 系列4选讲 13.2 不等式选讲（第1课时）绝对值不等式课件

第1课时绝对值不等式第十三章§13.2不等式选讲NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集1.绝对值不等式的解法知识梳理ZHISHISHULI不等式a0a＝0a0|x|a________∅∅|x|a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(－a，a)(2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔；②|ax＋b|≥c⇔.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则≤|a±b|≤.(2)如果a，b，c是实数，那么，当且仅当______________时，等号成立.||a|－|b|||a|＋|b||a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥01.绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？提示当a，b不共线时，|a|＋|b||a＋b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边.2.用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时，需把数轴分成几段？提示一般地，n个绝对值对应n个零点，n个零点应把数轴分成(n＋1)段.【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若|x|c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|2的解集为∅.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当ab0时等号成立.()(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.()(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.()××基础自测JICHUZICE12345×√√题组二教材改编123452.不等式3≤|5－2x|9的解集为A.[－2,1)∪[4,7)B.(－2,1]∪(4,7]C.(－2，－1]∪[4,7)D.(－2,1]∪[4,7)√解析由题意得|2x－5|9，|2x－5|≥3，即－92x－59，2x－5≥3或2x－5≤－3，解得－2x7，x≥4或x≤1，不等式的解集为(－2,1]∪[4,7).123453.求不等式|x－1|－|x－5|2的解集.解①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)2，∴－42，不等式恒成立，∴x≤1；②当1x5时，原不等式可化为x－1－(5－x)2，∴x4，∴1x4；③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)2，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，4).4.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝____.解析∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.12345题组三易错自纠2123455.已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________.9解析把a＋b＋c＝1代入到1a＋1b＋1c中，得a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一绝对值不等式的解法例1(1)解不等式x＋|2x＋3|≥2.师生共研解原不等式可化为x－32，－x－3≥2或x≥－32，3x＋3≥2，解得x≤－5或x≥－13.综上，原不等式的解集是xx≤－5或x≥－13.(2)(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.①当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；解当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.(*)当x－1时，(*)式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，(*)式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x1时，(*)式化为x2＋x－4≤0，从而1x≤－1＋172.所以f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤－1＋172.②若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围.解当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]上的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1].解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.思维升华跟踪训练1已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；解当a＝1时，f(x)1化为|x＋1|－2|x－1|－10.当x≤－1时，不等式化为x－40，无解；当－1x1时，不等式化为3x－20，解得23x1；当x≥1时，不等式化为－x＋20，解得1≤x2.所以f(x)1的解集为x23x2.(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围.解由题设可得，f(x)＝x－1－2a，x－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，xa.A2a－13，0，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为23(a＋1)2.由题设得23(a＋1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，＋∞).所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为题型二利用绝对值不等式求最值例2(1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；师生共研解∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，当且仅当0≤x≤1时等号成立，∴|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，当且仅当－1≤y≤1时等号成立，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3，当且仅当0≤x≤1，－1≤y≤1同时成立时等号成立.∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.解|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.(3)利用零点分区间法.思维升华跟踪训练2已知a和b是任意非零实数.(1)求|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值；解∵|2a＋b|＋|2a－b||a|≥|2a＋b＋2a－b||a|＝|4a||a|＝4，当且仅当(2a＋b)(2a－b)≥0时等号成立，∴|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值为4.(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围.解若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤|2a＋b|＋|2a－b||a|恒成立，故|2＋x|＋|2－x|≤|2a＋b|＋|2a－b||a|min.由(1)可知，|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值为4，∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集.解不等式得－2≤x≤2，故实数x的取值范围为[－2,2].题型三绝对值不等式的综合应用师生共研例3(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；当x－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x2时，由f(x)≥1，解得x2，所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.解f(x)＝－3，x－1，2x－1，－1≤x≤2，3，x2.(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.解由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－|x|－322＋54≤54，当x＝32时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝54.故m的取值范围为－∞，54.(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.思维升华跟踪训练3设函数f(x)＝x＋|x－a|.(1)当a＝2019时，求函数f(x)的值域；因为f(x)在[2019，＋∞)上单调递增，所以f(x)的值域为[2019，＋∞).解由题意得，当a＝2019时，f(x)＝2x－2019，x≥2019，2019，x2019，(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2x－f(x)恒成立时a的取值范围.解由g(x)＝|x＋1|，不等式g(x)－2x－f(x)恒成立，知|x＋1|＋|x－a|2恒成立，即(|x＋1|＋|x－a|)min2.而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|，所以|1＋a|2，解得a1或a－3.即a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞).3课时作业PARTTHREE基础保分练1234561.对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围.1234562.已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|，g(x)＝x2－x－a.(1)当a＝5时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；解当a＝5时，不等式f(x)≥g(x)等价于|x＋1|－|x－2|≥x2－x－5，①当x－1时，①式化为x2－x－2≤0，无解；当－1≤x≤2时，①式化为x2－3x－4≤0，得－1≤x≤2；当x2时，①式化为x2－x－8≤0，得2x≤1＋332，所以f(x)≥g(x)的解集为－1，1＋332.123456(2)若不等式f(x)≥g(x)解集包含[2,3]，求a的取值范围.解当x∈[2,3]时，f(x)＝3，所以f(x)≥g(x)的解集包含[2,3]，等价于x∈[2,3]时g(x)≤3，又g(x)＝x2－x－a在[2,3]上的最大值为g(3)＝6－a，所以g(3)≤3，即6－a≤3，得a≥3，所以a的取值范围为[3，＋∞).1234563.已知f(x)＝|2x＋a|－|x－2|.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)≤4的解集；解当a＝－2时，由f(x)≤4，得2|x－1|－|x－2|≤4，当x≤1时，由2(1－x)－(2－x)≤4，得－4≤x≤1；当1x2时，由2(x－1)－(2－x)≤4，得1x2；当x≥2时，由2(x－1)－(x－2)≤4，得2≤x≤4.综上所述，f(x)≤4的解集为[－4,4].123456(2)若关于x的不等式f(x)≥3a2－3|2－x|恒成立，求a的取值范围.4.已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解关于x的不等式f(x)≥1－x2；123456解由题意f(x)≥1－x2可知，|x－1|≥1－x2，即x－1≥1－x2或x－1≤x2－1，所以x2＋x