2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用（第2课时）导数与函数的极值、

第2课时导数与函数的极值、最值第三章§3.2导数的应用NEIRONGSUOYIN内容索引题型分类深度剖析课时作业题型分类深度剖析1PARTONE题型一用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)√多维探究命题点2求已知函数的极值例2(2018·通辽质检)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值.aex例3若函数f(x)＝x33－a2x2＋x＋1在区间13，4上有极值点，则实数a的取值范围是A.2，103B.2，103C.103，174D.2，174命题点3根据极值(点)求参数√函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号.(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.②验证：求解后验证根的合理性.思维升华跟踪训练1设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c.(1)当a＝1，且函数f(x)的图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围.解若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax2－4x＋1≤0恒成立.①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；②当a≠0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥43.综上，a的取值范围为43，＋∞.题型二用导数求函数的最值师生共研例4(2018·抚顺检测)已知函数f(x)＝x－1x－lnx.(1)求f(x)的单调区间；解f(x)＝x－1x－lnx＝1－1x－lnx，f(x)的定义域为(0，＋∞).由f′(x)0，得0x1，由f′(x)0，得x1，∵f′(x)＝1x2－1x＝1－xx2，∴f(x)＝1－1x－lnx在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.(2)求函数f(x)在1e，e上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数).解由(1)得f(x)在1e，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f(x)在1e，e上的最大值为f(1)＝1－11－ln1＝0.又f1e＝1－e－ln1e＝2－e，f(e)＝1－1e－lne＝－1e，且f1ef(e)，∴f(x)在1e，e上的最小值为f1e＝2－e.∴f(x)在1e，e上的最大值为0，最小值为2－e.(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.思维升华跟踪训练2(2017·北京)已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；解因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.0，π2当x∈0，π2时，h′(x)0，所以h(x)在区间0，π2上单调递减，所以对任意x∈0，π2有h(x)h(0)＝0，即f′(x)0，所以函数f(x)在区间0，π2上单调递减，因此f(x)在区间0，π2上的最大值为f(0)＝1，最小值为fπ2＝－π2.题型三函数极值、最值的综合问题例5(2018·葫芦岛调研)已知函数f(x)＝(a0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；师生共研ax2＋bx＋cex(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值.(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.思维升华跟踪训练3已知函数f(x)＝ax3＋2x2－4x＋5，当x＝时，函数f(x)有极值，则函数f(x)在[－3,1]上的最大值为_____.2313例(12分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值.答题模板DATIMUBAN利用导数求函数的最值课时作业2PARTTWO1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点解析设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当xx1时，f′(x)0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f′(x)0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.√基础保分练123456789101112131415162.函数f(x)＝13x3－4x＋4的极大值为A.283B.6C.263D.7解析f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，√12345678910111213141516所以f(x)的极大值为f(－2)＝283.3.函数y＝xex的最小值是A.－1B.－eC.－D.不存在解析因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.当x－1时，y′0；当x－1时，y′0，所以当x＝－1时，函数取得最小值，且ymin＝－故选C.√123456789101112131415161e1e.4.(2018·包头调研)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则A.当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值B.当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值C.当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值D.当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值解析当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是f(x)的极值点.当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，显然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左侧f′(x)0，当x1时，f′(x)0，∴f(x)在x＝1处取得极小值.故选C.√123456789101112131415165.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于A.11或18B.11C.18D.17或18解析∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，√12345678910111213141516∴1＋a＋b＋a2＝10，3＋2a＋b＝0，解得a＝－3，b＝3或a＝4，b＝－11.而当a＝－3，b＝3时，函数在x＝1处无极值，故舍去.∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.6.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x0)，则获得最大利润时的年产量为A.1百万件B.2百万件C.3百万件D.4百万件解析y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，当0x3时，y′0；当x3时，y′0.故当x＝3时，该商品的年利润最大.√123456789101112131415167.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是____________.解析∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，∴方程ex＋a＝0有大于零的解，∵当x0时，－ex－1，∴a＝－ex－1.12345678910111213141516(－∞，－1)解得a22.∴a的取值范围是22，＋∞.8.函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是___________.解析f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，当－axa时，f′(x)0，函数f(x)单调递减；当xa或x－a时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，∴f(x)的极大值为f(－a)，极小值为f(a).∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a0且f(a)＝a3－3a3＋a0，1234567891011121314151622，＋∞9.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为____.－4解析f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.1234567891011121314151610.(2018·鞍山调研)已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝___.1解析由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.12345678910111213141516a12，令f′(x)＝1x－a＝0，得x＝1a，当0x1a时，f′(x)0；当x1a时，f′(x)0.∴f(x)max＝f1a＝－lna－1＝－1，解得a＝1.11.已知函数f(x)＝ax2－blnx在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝1.(1)求实数a，b的值；解f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－bx，12345678910111213141516f(1)＝a＝1，f′(1)＝2a－b＝0，将a＝1代入2a－b＝0，解得b＝2.(2)求函数f(x)的极值.所以f′(x)＝2x－2x＝2x2－2x，12345678910111213141516解由(1)得f(x)＝x2－2lnx(x0)，令f′(x)0，解得x1，令f′(x)0，解得0x1，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)极小值＝f(1)＝1，无极大值.12.(2018·丹东质检)已知函数f(x)＝(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；12