2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线课件 理 新人教A版

§9.6双曲线第九章平面解析几何NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE平面内与两个定点F1，F2的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做，两焦点间的距离叫做_________.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当时，P点的轨迹是两条射线；(3)当时，P点不存在.1.双曲线定义知识梳理ZHISHISHULI距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距2a|F1F22a＝|F1F2|2a|F1F2|2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)性质范围________________________________________对称性对称轴：_______对称中心：______顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线_______________离心率e＝，e∈_________，其中c＝_________y＝±baxy＝±abxx≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a坐标轴原点ca(1，＋∞)a2＋b2性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝______(ca0，cb0)2a2ba2＋b21.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定.当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.2.方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示若A0，B0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A0，B0，表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB0.【概念方法微思考】3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a0，b0，二者没有大小要求，若ab0，a＝b0,0ab，双曲线哪些性质受影响？提示离心率受到影响.∵e＝ca＝1＋ba2，故当ab0时，1e2，当a＝b0时，e＝2(亦称等轴双曲线)，当0ab时，e2.(3)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(2)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()××√基础自测JICHUZICE1234567(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与x2b2－y2a2＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).()123456√√7题组二教材改编2.若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为A.5B.5C.2D.2√解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为xa±yb＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝bca2＋b2＝b.又a2＋b2＝c2∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝5.12345673.已知ab0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为A.x±2y＝0B.2x±y＝0C.x±2y＝0D.2x±y＝0√所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±12x，即x±2y＝0.所以a2－b2a·a2＋b2a＝32，即a4＝4b4，所以a＝2b，解析椭圆C1的离心率为a2－b2a，双曲线C2的离心率为a2＋b2a，12345674.经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为____________.把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，1234567x215－y215＝1解析设双曲线的方程为x2a2－y2a2＝±1(a0)，故所求方程为x215－y215＝1.题组三易错自纠∴(m2＋n)·(3m2－n)0，解得－m2n3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1n3，故选A.12345675.(2016·全国Ⅰ)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A.(－1,3)B.(－1，3)C.(0,3)D.(0，3)√解析∵方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，6.若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为A.73B.54C.43D.53√1234567解析由条件知y＝－bax过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，∴25a2＝9c2，∴e＝53.故选D.12345677.已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±12x，则该双曲线的标准方程为__________.x24－y2＝1解析由双曲线的渐近线方程为y＝±12x，可设该双曲线的标准方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1.2题型分类深度剖析PARTTWO解析如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，∴|MF2|＝2.∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2|F1F2|，∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.题型一双曲线的定义例1(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆√师生共研(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝___.34解析∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，∴|PF1|＝2|PF2|＝42，则cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝422＋222－422×42×22＝34.1.本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝23.12FPFS引申探究2.本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“”，则△F1PF2的面积是多少？PF1→·PF2→＝0解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，∵PF1→·PF2→＝0，∴PF1→⊥PF2→，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴＝12|PF1|·|PF2|＝2.12FPFS(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.思维升华跟踪训练1设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是__________.由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，y23(27，8)解析如图，由已知可得a＝1，b＝3，c＝2，从而|F1F2|＝4，结合实际意义需满足m＋22m2＋42，42m＋22＋m2，解得－1＋7m3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴272m＋28.题型二双曲线的标准方程例2(1)(2018·大连调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.师生共研x2－y28＝1(x≤－1)(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：①虚轴长为12，离心率为54；解设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0).由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.②焦距为26，且经过点M(0,12)；解∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为y2144－x225＝1.③经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7).解设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn0).∴9m－28n＝1，72m－49n＝1，解得m＝－175，n＝－125.∴双曲线的标准方程为y225－x275＝1.求双曲线标准方程的方法(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB0).思维升华②与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2ka2).跟踪训练2(1)(2018·沈阳调研)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为__________.513x216－y29＝1解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为x242－y232＝1.即x216－y29＝1.可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.(2)(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1√解析由y＝52x，可得ba＝52.①由椭圆x212＋y23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，所以C的方程为x24－y25＝1.故选B.例3过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为A.y＝±3xB.y＝±33xC.y＝±2xD.y＝±