2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系课件 理 新人教A版

§9.2两条直线的位置关系第九章平面解析几何NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔.(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.知识梳理ZHISHISHULIk1＝k2k1·k2＝－1(2)两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝02.几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.x2－x12＋y2－y12|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.|C1－C2|A2＋B21.若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？【概念方法微思考】提示当两条直线l1与l2的斜率都存在时，·＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直.1lk2lk2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式.(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.()√×基础自测JICHUZICE1234567(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为|kx0＋b|1＋k2.()×(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上.()√－1k1234567√题组二教材改编2.已知点(a,2)(a0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于A.2B.2－2C.2－1D.2＋1解析由题意得|a－2＋3|1＋1＝1.解得a＝－1＋2或a＝－1－2.∵a0，∴a＝－1＋2.1234567√3.已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝___.所以m＝1.1解析由题意知m－4－2－m＝1，所以m－4＝－2－m，12345674.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为____.所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.－9解析由y＝2x，x＋y＝3，得x＝1，y＝2.1234567题组三易错自纠5.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于A.2B.－3C.2或－3D.－2或－3则有2m＝m＋13≠4－2，故m＝2或－3.故选C.1234567解析直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，√6.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是_____.324解析先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋12＝0，则两平行线间的距离为d＝2－122＝324.12345677.若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝_____.解析由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.0或112345672题型分类深度剖析PARTTWO题型一两条直线的平行与垂直例1(2018·满洲里调研)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；师生共研(2)当l1⊥l2时，求a的值.解方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，由－a2·11－a＝－1，得a＝23.方法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝23.(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.思维升华跟踪训练1(1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为A.－32B.0C.－32或0D.2√解析若a≠0，则由l1∥l2⇒a＋11＝－a2a，故2a＋2＝－1，即a＝－32；若a＝0，l1∥l2，故选C.(2)(2018·营口模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值.①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；解∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.②l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.解∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在.∴k1＝k2，即ab＝1－a.又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即4b＝b.故a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.题型二两直线的交点与距离问题1.(2018·葫芦岛调研)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是自主演练A.－23B.23C.－32D.32√解析由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立解得M2k＋1，1，Nk－6k－1，－6k＋1k－1.又因为MN的中点是P(1，－1)，所以由中点坐标公式得k＝－23.2.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为A.95B.185C.2910D.295解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ|的最小值为2910.√将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，3.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.12－16，124.已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为__________________.1，－4或277，－87(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.思维升华题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例2过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________.多维探究x＋4y－4＝0解析设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.命题点2点关于直线对称例3如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是A.33B.6C.210D.25√命题点3直线关于直线的对称问题例4直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是____________.x－2y＋3＝0解析设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由x＋x02－y＋y02＋2＝0，x－x0＝－y－y0，得x0＝y－2，y0＝x＋2，由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.解决对称问题的方法(1)中心对称①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.思维升华x′＝2a－x，y′＝2b－y.(2)轴对称①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有n－bm－a×－AB＝－1，A·a＋m2＋B·b＋n2＋C＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.跟踪训练2已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；解设A′(x，y)，则y＋2x＋1·23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413，即A′－3313，413.(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；解在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上.设对称点为M′(a，b)，则2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1，解得a＝613，b＝3013，即M′613，3013.设m与l的交点为N，则由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0，得N(4,3).又m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程.解方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1,1)，N(4,3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上.易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.方法二设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系.思想方法SIXIANGFANGFA妙用直线系求直线方程一、平行直线系例1求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程.解由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.二、垂直直线系例2求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C＝0，又直线过点A(2,1)，所以有2－2×1＋C＝0，解得C＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.三、