2019秋九年级数学上册 第6章 反比例函数 6.3 反比例函数的应用课件 （新版）北师大版

第六章反比例函数初中数学（北师大版）九年级上册知识点一利用反比例函数解决实际问题数学模型的构建利用反比例函数解决问题应用反比例函数解决实际问题,我们应抽象概括出它的本质特征,将其数学化、形式化,形成数学模型.例如当路程一定时,时间与速度成反比.根据已知条件写出反比例函数的表达式,并把实际问题反映在函数的图象上,结合图象和性质解决实际问题.因此,利用反比例函数解决实际问题的关键是构建数学模型,然后写出函数表达式构建数学模型的方法(1)根据基本数量关系列反比例函数表达式,比如,一些图形的面积公式、体积公式,物理学中的一些常用公式,等等;(2)当题目中明确给出两变量的反比例关系时,可用待定系数法求反比例函数表达式;(3)当题目中明确了反映两变量变化关系的图象时,由图象得出其函数类型,进而用待定系数法求函数表达式注意实际问题中的数量关系一般都具有实际意义,所以在建立数学模型解答问题时,需注意实际问题对数学问题答案的要求,如一些数量非负(时间、速度、长度等),在解答过程中要时刻注意实际问题中的限制与要求例1你吃过拉面吗?实际上,在做拉面的过程中就渗透着数学知识:一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面面积)S(mm2)的反比例函数,其图象如图6-3-1. 图6-3-1(1)写出y与S之间的函数表达式;(2)当面条粗为1.6mm2时,面条的总长度是多少米?分析(1)已知反比例函数图象上一点的坐标,用待定系数法求函数表达式;(2)已知S的值求y的值.解析(1)设y= (k≠0),由图象知双曲线过点P(4,32),可得k=128,故y与S之间的函数表达式为y= (S0).(2)当面条粗为1.6mm2,即S=1.6时,y= =80.因此,当面条粗为1.6mm2时,面条的总长度为80m.方法技巧建立反比例函数模型解决实际问题的方法:先求出反比例函数的表达式,并写出自变量的取值范围,然后根据题中要求利用函数的定义或性质解答相关问题.kS128S1281.6知识点二反比例函数与一次函数的综合运用求两个函数图象的交点坐标时,往往把两个函数的表达式联立组成方程组,求得的解就是交点坐标.(1)正比例函数y=k1x(k1≠0)与反比例函数y= (k2≠0),当k1与k2同号时,正比例函数的图象与反比例函数的图象有两个交点,交点坐标就是方程组 的解,且两个函数图象的交点关于原点对称;当k1与k2异号时,两个函数的图象没有交点.(2)一次函数y=k1x+b(k1≠0)与反比例函数y= (k2≠0)的图象的交点个数有三种情况:1个,2个或0个.因为两个函数的表达式联立组成一个二元方2kx12,ykxkyx2kx程组,可化成一个一元二次方程,所以两个函数图象的交点个数由这个一元二次方程实数解的个数来决定.注意将k1x+b= 化为一元二次方程,求出一元二次方程的解后,要注意判断该解是不是增根.2kx例2如图6-3-2,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象相交于M(2,m),N(-1,-4)两点.(1)求反比例函数和一次函数的表达式;(2)根据图象写出当反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围. 图6-3-2kx分析确定两个函数的表达式,根据图象写出结果.解析(1)将N(-1,-4)代入y= 中,得-4= ,即k=4,所以反比例函数的表达式为y= .将M(2,m)代入y= 中,得m= ,即m=2.将M(2,2),N(-1,-4)代入y=ax+b中,得 解得 所以一次函数的表达式为y=2x-2.(2)由图象可知,当反比例函数的值大于一次函数的值时,x的取值范围为x-1或0x2.kx1k4x4x4222,4,abab2,2,ab题型一利用反比例函数解决实际问题例1某公司有某种海产品2104千克,为寻求合适的价格,进行8天试销,情况如下:观察表中数据,发现可以用反比例函数刻画这种海产品每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系.(1)求这个反比例函数的表达式,并求a、b的值;(2)横轴以1元/千克为一个单位长度,纵轴以1000千克为一个单位长度,请你用描点法画出这个函数的图象;天数12345678销售价格x(元/千克)400a250240200150125120销售量y(千克)304048b608096100(3)按(2)中第6天的价格继续销售15天后,公司发现剩余的海产品必须在2天内全部售出,此时需要重新确定一个销售价格,使后面两天都按新价格销售,那么新确定的价格不超过多少时才能完成销售任务?分析(1)根据表中的一组数据,如(400,30)即可求出反比例函数的表达式,再分别将y=40和x=240代入,即可求出a、b的值;(2)列表、描点、连线,即可画出这个函数的图象;(3)求出继续销售15天后剩余的海产品质量,即可得到后面两天每天的销售量,代入反比例函数表达式中即可求出售价的范围.解析(1)设y与x之间的函数表达式为y= (k≠0).把x=400,y=30代入y= ,得30= ,解得k=12000.∴这个反比例函数的表达式为y= ,x的取值范围为x0.当y=40时, =40,解得x=300,经检验,x=300是原分式方程的解,即a=300.当x=240时,y= =50,即b=50.(2)列表:kxkx400k12000x12000x12000240x…234568…y…600040003000240020001500…描点、连线,画出的函数图象如图6-3-3所示.图6-3-3(3)继续销售15天后,剩余的海产品的质量为2104-30-40-48-50-60-80-96-100-80×15=400(千克).如果剩余的海产品必须在2天内全部售出,那么每天至少需要售出400÷2=200(千克),解方程 =200,得x=60.经检验,x=60是原分式方程的解.∵x0时,y随x的增大而减小,∴新确定的价格不超过60元/千克时才能完成销售任务.12000x题型二反比例函数与一次函数的综合应用问题例2(2016四川自贡中考)如图6-3-4所示,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b和反比例函数y= 的图象的两个交点.(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)观察图象,直接写出方程kx+b- =0的解;(3)求△AOB的面积;(4)观察图象,直接写出不等式kx+b- 0的解集. mxmxmx图6-3-4分析(1)先把B的坐标代入反比例函数y= 中,得出m的值,再把A的坐标代入,求出n的值,然后将点A和点B的坐标分别代入y=kx+b中,运用待定系数法求其表达式;(2)经过观察可发现:方程的解应为所给函数图象的两个交点的横坐标;(3)先求出直线y=kx+b与y轴的交点(设交点为C)的坐标,然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算;(4)观察函数图象得到当-4x0或x2时,一次函数的图象在反比例函数图象的下方,即kx+b- 0.mxmx解析(1)∵点B(2,-4)在函数y= 的图象上,∴m=-8.∴反比例函数的表达式为y=- .∵点A(-4,n)在反比例函数y=- 的图象上,∴n=2,∴点A的坐标为(-4,2).∵函数y=kx+b的图象经过A(-4,2),B(2,-4)两点,∴ 解得 ∴一次函数的表达式为y=-x-2.(2)∵点A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b和反比例函数y= 的图象的两个交点,mx8x8x42,24,kbkb1,2,kbmx∴方程kx+b- =0的解是x1=-4,x2=2.(3)设一次函数y=-x-2的图象与y轴交于点C,如图6-3-5所示. 图6-3-5当x=0时,y=-2,∴点C的坐标为(0,-2),∴OC=2.∴S△AOB=S△AOC+S△BOC= ×2×4+ ×2×2=6.(4)不等式kx+b- 0的解集为-4x0或x2.mx1212mx点拨本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题和观察函数图象的能力以及用待定系数法确定一次函数的表达式.杠杆中的数学素养解读数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征.数学抽象是数学的基本思想,是形成理性思维的重要基础,反映了数学的本质特征,贯穿在数学产生、发展、应用的过程中.数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.典例剖析例如图6-3-6①,小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验:在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A,在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉木杆,改变弹簧秤与点O的距离x(单位:cm),观察弹簧秤的示数y(单位:N)的变化情况,实验数据记录如下:x(单位:cm)…1015202530…y(单位:N)…3020151210…(1)把上表中(x,y)的各组对应值作为点的坐标,在图6-3-6②所示的坐标系中描出相应的点,用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象,猜测y与x之间的函数关系,并求出函数关系式;(2)当弹簧秤的示数为24N时,弹簧秤与点O的距离是多少?随着弹簧秤与点O的距离不断减小,弹簧秤的示数将发生怎样的变化?图6-3-6解析(1)如图6-3-7. 图6-3-7由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数,设y= (k0),kx把x=10,y=30代入得30= ,解得k=300,∴y= .将其余各点代入验证,均适合,∴y与x的函数关系式为y= .(2)把y=24代入y= ,得24= ,解得x=12.5,∴当弹簧秤的示数为24N时,弹簧秤与点O的距离是12.5cm.由(1)中图象可知,随着弹簧秤与点O的距离不断减小,弹簧秤上的示数不断增大.10k300x300x300x300x素养呈现本题是以现实生活的杠杆为背景,改变弹簧秤与点O的距离x,观察弹簧秤的示数y的变化情况,比较分析.顺次连接以各组对应值为点的坐标,观察得到的函数图象,比较分析后猜想出y与x的函数关系是反比例函数.将数据代入,利用待定系数法求出反比例函数的解析式,再根据反比例函数图象的性质得出结论.从数学的发展看,它本身也是充满着观察与猜想的探索活动.通过引导同学们观察、动手操作、比较分析、猜想归纳,在“做数学”中学数学,获得数学学习的经验,并从中提升数学抽象能力.知识点一利用反比例函数解决实际问题1.(2017浙江台州中考)已知电流I(安培)、电压U(伏特)、电阻R(欧姆)之间的关系为I= ,当电压为定值时,I关于R的函数图象是 () UR答案C∵I= ,电压为定值,∴I关于R的函数是反比例函数,且图象在第一象限,故选C.UR2.某地计划用120~180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程,工程需要运送的土石方总量为360万立方米.(1)写出运输公司完成任务所需时间y(单位:天)与平均每天的工作量x(单位:万立方米)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)由于工程进度的需要,实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米,工期比原计划减少了24天,原计划和实际平均每天运送土石方各多少万立方米?解析(1)由题意得y= .把y=120代入y= ,得x=3;把y=180代入y= ,得x=2.∴自变量x的取值范围是2≤x≤3.∴y= (2≤x≤3).(2)设原计划平均每天运送土石方m万立方米,则实际平均每天运送土石方(m+0.5)万立方米.由题意得 - =24.解得m=2.5或m=-3.360x360x360x360x360m3600.5m经检验,m=2.5和m=-3都是原分式方程的解,但m=-3不符合题意,∴m=2.5,此时m+0.5=3.答:原计划平均每天运送土石方2.5万立方米,实际平均每天运送土石方3万立方米.知识点二反比例函数与一次函数的综合运用3.在同一直角坐标系中,直线y=x+1与双曲线y= 的交点个数为 ()A