2019版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程课件 新人教B版选修1-1

-1-2.3.1抛物线及其标准方程目标导航了解抛物线的定义及其标准方程.知识梳理1.抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.【做一做1】抛物线定义中的定点是其,定直线是其.答案:焦点准线名师点拨抛物线定义中的定点F不在定直线l上,否则动点的轨迹不是抛物线,而是过点F与l垂直的一条直线.知识梳理2.抛物线的标准方程方程y2=2px(p0)叫做抛物线的标准方程.名师点拨(1)抛物线中焦参数p的几何意义是焦点到准线的距离.(2)由于建立的坐标系不同,所得抛物线的方程也不同.本节中所建坐标系得到的是焦点在x轴的正半轴上的标准方程,下一节课还要学习其他形式的标准方程.它所表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,坐标是𝑝2,0;它的准线方程是x=-𝑝2,其中p是焦点到准线的距离(焦参数).【做一做2】抛物线y2=4x的焦点坐标是,准线方程是.答案:(1,0)x=-1重难聚焦1.如何理解抛物线的定义?剖析:(1)抛物线的定义用集合语言表示:P={M||MF|=d}(d为M到定直线l的距离).(2)定义的实质可归纳为“一动三定”:一个动点,设为点M;一个定点F(抛物线的焦点);一条定直线l(抛物线的准线);一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1).(3)抛物线定义中的定点F不在定直线l上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F与l垂直的一条直线.(4)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性,故二者可相互转化,这也是利用抛物线定义解题的实质.重难聚焦2.抛物线的图象是双曲线的一支吗?剖析:虽然抛物线的形状与双曲线一支的形状看起来相似,但绝不能把抛物线当成是双曲线的一支.当抛物线上的点趋向于无穷远时,点的切线接近于和x轴平行;而双曲线上的点趋向于无穷远时,点的切线接近于与渐近线平行.抛物线没有渐近线;从方程上看,抛物线的方程与双曲线的方程有很大差别.典例透析题型一题型二题型三抛物线的定义及应用【例1】若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P在该抛物线上移动,为使得|PA|+|PF|取得最小值,求点P的坐标.分析:显然点A在抛物线的内部,联想到平面上“到两定点距离之和最短的点在两定点连线所成的线段上”这一几何性质,欲使抛物线上一点到两定点A,F的距离之和最短,需将A,F中的一个点转移到抛物线的外部,使其与另一点的连线与抛物线相交,则交点即为所求.典例透析题型一题型二题型三解:设点P的坐标为(x,y),由抛物线的定义,|PF|等于点P到抛物线准线的距离|PP'|,如图所示.因此,当且仅当P,A,P'在同一条直线上时,有|PF|+|PA|=|PP'|+|PA|最小,此时点P的纵坐标等于点A的纵坐标,即y=2,将y=2代入y2=2x,求得此时点P的坐标为(2,2).典例透析题型一题型二题型三反思求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时,通常有两种情况:①当两定点在曲线两侧时,连接两定点的线段与曲线的交点即为所求点;②当两定点在曲线同侧时,由圆锥曲线定义作线段的等量转换,转换为①的情形即可.典例透析题型一题型二题型三求抛物线的焦点坐标和准线方程【例2】已知抛物线的方程如下,分别求它们的焦点坐标和准线方程.(1)y2=ax(a0);(2)3x=2y2.分析:先根据抛物线的标准方程,求出p,然后写出焦点坐标和准线方程.解(1)由抛物线的标准方程y2=ax(a0)知,2p=a.故𝑝2=𝑎4.因此,所给抛物线的焦点为𝑎4,0,准线方程为x=-𝑎4.(2)把所给的抛物线方程变形为标准方程,得y2=32x,故2p=32,即𝑝2=38.因此,所给抛物线的焦点为38,0,准线方程为x=-38.反思根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程,一定要将方程化成标准方程,求出的值,即可写出焦点坐标和准线方程.𝑝2典例透析题型一题型二题型三求抛物线的标准方程【例3】(1)已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点到准线的距离是4,则该抛物线的标准方程为.解析:因为焦点到准线的距离是4,所以p=4,所以2p=8.又焦点在x轴正半轴上,故所求抛物线的标准方程为y2=8x.答案:y2=8x典例透析题型一题型二题型三(2)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.分析:解第(2)题的基本思路有两个,其一设抛物线方程,利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5,列出关于m,p的方程组,解关于m,p的方程组;其二利用抛物线的定义,可得点M到准线的距离为5,直接得到p的关系式,求出p值.典例透析题型一题型二题型三反思涉及抛物线上一点与焦点距离的问题时,要注意利用定义转化为该点到准线的距离,可简化计算.解方法一:设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),则焦点为F𝑝2,0,由题设可得𝑚2=6𝑝,𝑚2+3-𝑝22=5.解得𝑝=4,𝑚=26或𝑝=4,𝑚=-26.故所求的抛物线方程为y2=8x,m的值为±26.方法二:设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),焦点为F𝑝2,0,准线方程x=-𝑝2,根据抛物线定义,点M到焦点的距离等于点M到准线的距离,则3+𝑝2=5,解得p=4.因此抛物线方程为y2=8x.又点M(3,m)在抛物线上,所以m2=24,解得m=±26.故所求的抛物线方程为y2=8x,m的值为±26.典例透析1抛物线x-4y2=0的准线方程是.答案:x=2若点A的坐标为(2,2),F为抛物线y2=4x的焦点,点P在该抛物线上移动,为使得|PA|+|PF|取得最小值,则点P的坐标为.答案:(1,2)3若抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-3,则抛物线方程是.答案:y2=12x4若抛物线的焦点在x轴的正半轴上,其上一点M(4,a)到焦点的距离等于7,则抛物线的标准方程为.解析:设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),由抛物线的定义,得4+=7,所以p=6.故所求抛物线的标准方程为y2=12x.答案:y2=12x-116𝑝2典例透析