2019版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程课件 新人教B版选修1-1

-1-2.2双曲线-2-2.2.1双曲线及其标准方程目标导航1.理解双曲线的定义.2.掌握双曲线的标准方程的定义.知识梳理1.双曲线的定义在平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.名师点拨在双曲线的定义中,①当2a等于|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点).②当2a大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.③当2a等于零时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.④若将定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹就成了双曲线的一支.知识梳理【做一做1】已知定点F1(-3,0),F2(3,0),在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是()A.||PF1|-|PF2||=5B.||PF1|-|PF2||=6C.||PF1|-|PF2||=7解析:因为|F1F2|=6,所以动点P与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值应小于6,故选A.答案:AD.|𝑃𝐹1|2−|𝑃𝐹2|2=±6知识梳理2.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系c2=a2+b2c2=a2+b2名师点拨(1)由求双曲线标准方程的过程可知,只有当双曲线的两个焦点在坐标轴上,且关于原点对称时,才得到双曲线的标准方程.(2)在双曲线的标准方程中,若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,则焦点在y轴上.知识梳理【做一做2-1】双曲线𝑥210−𝑦22=1的焦距为()A.32B.42C.33D.43解析:由已知得c2=a2+b2=10+2=12,∴c=23,故双曲线的焦距为43.答案:D【做一做2-2】若双曲线的焦点在x轴上,且经过(2,0),(4,3)两点,则双曲线的标准方程为.解析:设双曲线的标准方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0),由题意知a=2,则𝑥24−𝑦2𝑏2=1,将点(4,3)代入得164−9𝑏2=1,解得b2=3,故双曲线的标准方程为𝑥24−𝑦23=1.答案:𝑥24−𝑦23=1重难聚焦1.椭圆与双曲线有哪些不同?剖析:椭圆双曲线|MF1|+|MF2|=2a|MF1|-|MF2|=±2a因为ac0,所以令a2-c2=b2(b0)因为ca0,所以令c2-a2=b2(b0)x2a2+y2b2=1,y2a2+x2b2=1(ab0)x2a2−y2b2=1,y2a2−x2b2=1(a0,b0)2.求双曲线方程的常用方法有哪些?剖析:(1)待定系数法.即先设出方程的标准形式,再确定方程中的参数a,b的值,即“先定型,再定量”,若两种类型都有可能,则应进行分类讨论.(2)定义法.典例透析题型一题型二题型三双曲线的定义及应用【例1】如图所示,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.分析:可利用双曲线定义来解.典例透析题型一题型二题型三解:∵圆F1:(x+5)2+y2=1,∴圆心F1(-5,0),半径r1=1.∵圆F2:(x-5)2+y2=42,∴圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2|-|MF1|=3.反思如果遇到动点到两定点距离之差的问题,应联想到能否用双曲线的定义来解,并要注意x的范围.∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=32,c=5.∴b2=914.∴动圆圆心M的轨迹方程为49x2-491y2=1𝑥≤-32.典例透析题型一题型二题型三求双曲线的标准方程【例2】已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线过点(3,-42),点94,5,求双曲线的标准方程.分析可根据已知条件,先设方程,再把点的坐标代入即可.解设双曲线的标准方程为𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(a0,b0),将点(3,-42),点94,5分别代入方程,得32𝑎2-9𝑏2=1,25𝑎2-8116𝑏2=1,解得𝑎2=16,𝑏2=9.故所求双曲线的标准方程为𝑦216−𝑥29=1.典例透析题型一题型二题型三反思双曲线的标准方程有两个:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0),𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(a0,b0),方程𝑥2𝑚+𝑦2𝑛=1表示双曲线的充要条件是mn0.典例透析题型一题型二题型三易错题型【例3】已知双曲线4x2-9y2+36=0,求它的焦点坐标.错解将双曲线方程化为标准方程为𝑦24−𝑥29=1,∴a=3,b=2,∴c=𝑎2+𝑏2=4+9=13.∴双曲线的焦点坐标分别为(-13,0),(13,0).错因分析双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,不是以分母的大小确定的,而是按二次项系数的符号确定的.错解中却以分母的大小确定双曲线焦点的位置.正解将双曲线方程化为标准方程为𝑦24−𝑥29=1,可知焦点在y轴上,∴a=2,b=3,∴c=𝑎2+𝑏2=4+9=13,∴双曲线的焦点坐标为(0,-13),(0,13).典例透析1双曲线𝑥2𝑚2+16−𝑦29-𝑚2=1的焦距是()A.4B.22C.10D.与m有关解析:由题意可知a2=m2+16,b2=9-m2,所以c2=a2+b2=m2+16+9-m2=25,所以c=5,所以2c=10.答案:C典例透析2若双曲线𝑥225−𝑦2144=1上一点P到右焦点的距离是5,则下列结论正确的是()A.P到左焦点的距离是8B.P到左焦点的距离是15C.P到左焦点的距离不确定D.这样的点P不存在解析:选项A和选项C易判断是错误的,对选项B而言,设左焦点为F1,右焦点为F2,若|PF1|=15,|PF2|=5,则|PF1|+|PF2|=20,而|F1F2|=26,即有|PF1|+|PF2||F1F2|=26,这与“三角形的两边之和大于第三边”相矛盾,故选D.答案:D典例透析3已知方程𝑥2𝑘-3+𝑦22-𝑘=1表示焦点在y轴上的双曲线,则k的取值范围是.解析:因为方程𝑥2𝑘-3+𝑦22-𝑘=1表示焦点在y轴上的双曲线,所以𝑘-30,2-𝑘0,解得k2.答案:k2典例透析4求符合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=4,c=5,焦点在x轴上;(2)a=b,经过点(3,-1).分析:灵活设出双曲线的方程,要注意讨论焦点的位置,不要漏解.解(1)因为a=4,c=5,所以b2=c2-a2=25-16=9.又因为焦点在x轴上,所以双曲线的标准方程为𝑥216−𝑦29=1.(2)当焦点在x轴上时,可设双曲线方程为x2-y2=a2,将点(3,-1)代入,得32-(-1)2=a2,所以a2=b2=8.因此,所求的双曲线的标准方程为𝑥28−𝑦28=1.当焦点在y轴上时,可设双曲线方程为y2-x2=a2,将点(3,-1)代入,得(-1)2-32=a2,a2=-8,不可能,所以焦点不可能在y轴上.综上,所求双曲线的标准方程为𝑥28−𝑦28=1.典例透析