2019版高中数学 第二章 数列本章整合课件 新人教B版必修5

-1-本章整合知识建构真题放送综合应用数列定义:按照一定次序排列的一列数表示图表:对应性强,直观图象:直观、形象通项公式:𝑎𝑛=𝑓(𝑛),形式结构严谨,有利于相关计算或证明分类(按变化趋势分类)递增数列:对任意𝑛∈N+,总有𝑎𝑛+1𝑎𝑛递减数列:对任意𝑛∈N+,总有𝑎𝑛+1𝑎𝑛常数列:对任意𝑛∈N+,总有𝑎𝑛+1=𝑎𝑛摆动数列:有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项等差数列定义:𝑎𝑛+1-𝑎𝑛=𝑑(𝑛∈N+,𝑑为常数)通项公式:𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛-1)𝑑主要性质:若𝑚+𝑛=𝑠+𝑝,则𝑎𝑚+𝑎𝑛=𝑎𝑠+𝑎𝑝;若𝑚+𝑛=2𝑝,则𝑎𝑚+𝑎𝑛=2𝑎𝑝前𝑛项和公式:𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=𝑛𝑎1+𝑛(𝑛-1)2𝑑等比数列定义:𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑞(𝑛∈N+,𝑞为非零常数)通项公式:𝑎𝑛=𝑎1𝑞𝑛-1主要性质:若𝑚+𝑛=𝑠+𝑝,则𝑎𝑚𝑎𝑛=𝑎𝑠𝑎𝑝;若𝑚+𝑛=2𝑝,则𝑎𝑚𝑎𝑛=𝑎𝑝2前𝑛项和公式:当𝑞=1时,𝑆𝑛=𝑛𝑎1;当𝑞≠1时,𝑆𝑛=𝑎1-𝑎𝑛𝑞1-𝑞=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞应用:关键是根据实际问题建立数列模型,然后根据相应的公式解决问题知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题一求数列的通项公式求数列的通项公式是数列的重要内容之一,只要有数列的通项公式,许多问题就可迎刃而解.如果一个数列是等差数列或等比数列,则可直接写出其通项公式,而对于非等差、等比数列的通项公式可通过适当的变形、构造使之成为等差或等比数列来求解.因此数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的关键,现根据数列的结构特征把常见求解方法和技巧总结如下.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三1.观察法应用1已知数列,…,则此数列的一个通项公式是.提示:已知数列的前若干项,求该数列的通项公式时,一般先对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项公式.12,14,-58,1316,-2932,6164解析:观察数列每项的绝对值,分母为2,4,8,16,32,…,是2n的形式,而分子,从第二项起满足“分子-分母=-3”,因此改写第一项为--12,这样,数列中每一项的绝对值都满足“分子-分母=-3”这一规律,且数列中每一项的符号为“-”“+”交替出现,故an=(-1)n2𝑛-32𝑛.答案:an=(-1)n2𝑛-32𝑛知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三2.定义法应用2等差数列{an}是递增数列,前n项和为Sn,且a1,a3,a9成等比数列,S5=.求数列{an}的通项公式.提示:本题已知{an}是等差数列,可建立首项和公差的方程,通过解方程来求得首项和公差,再代入通项公式得其解.𝑎52解:设数列{an}的公差为d(d0).因为a1,a3,a9成等比数列,所以𝑎32=a1a9,即(a1+2d)2=a1(a1+8d),得d2=a1d.因为d0,所以a1=d.①因为S5=𝑎52,所以5a1+5×42d=(a1+4d)2.②由①②,得a1=35,d=35.所以an=35+(n-1)×35=35n.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三3.Sn法应用3设数列{an}的前n项和为Sn=2n2,{bn}为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.求数列{an}和{bn}的通项公式.提示:本题已知Sn的表达式,自然想到使用公式求解.解:当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,当n=1时也适用,则{an}的通项公式为an=4n-2.设{bn}的公比为q,则b2(a2-a1)=b1qd=b1,an=𝑆1,𝑛=1,𝑆𝑛-𝑆𝑛-1,𝑛≥2又d=4,所以q=14.因为a1=b1=2,故bn=b1qn-1=2×14𝑛-1,即{bn}的通项公式为bn=24𝑛-1.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三4.累加法应用4已知在数列{an}中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求数列{an}的通项公式.提示:由于本题给出了数列{an}中连续两项的差,故可考虑用累加法求解.解:由an+1-an=3n-n,得an-an-1=3n-1-(n-1),an-1-an-2=3n-2-(n-2),……a3-a2=32-2,a2-a1=3-1.当n≥2时,以上(n-1)个等式两端分别相加,得(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)=3n-1+3n-2+…+3-[(n-1)+(n-2)+…+1],知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三即an-a1=3(1-3𝑛-1)1-3−𝑛(𝑛-1)2.又a1=1,所以an=12×3n-𝑛(𝑛-1)2−12.显然a1=1也适合上式,所以{an}的通项公式为an=12×3n-𝑛(𝑛-1)2−12.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三5.迭乘法应用5已知在数列{an}中,a1=,前n项和Sn与an的关系是Sn=n(2n-1)an,求an.提示:此题已知Sn与an的关系,应想到使用Sn法,然后得到相邻两项比的等式满足an=an-1f(n)这种模型,因此使用迭乘法求解.解:当n≥2时,由Sn=n(2n-1)an,得Sn-1=(n-1)(2n-3)an-1,两式相减,得(2n+1)an=(2n-3)an-1,13所以𝑎𝑛𝑎𝑛-1=2𝑛-32𝑛+1.所以𝑎𝑛-1𝑎𝑛-2=2𝑛-52𝑛-1,……,𝑎2𝑎1=15.将上面(n-1)个等式两端分别相乘,得𝑎𝑛𝑎1=(2𝑛-3)(2𝑛-5)(2𝑛-7)×…×3×1(2𝑛+1)(2𝑛-1)(2𝑛-3)×…×7×5=3(2𝑛+1)(2𝑛-1),知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三所以当n≥2时,an=1(2𝑛+1)(2𝑛-1).当n=1时,a1=13满足上式,故对n∈N+,有an=1(2𝑛+1)(2𝑛-1).知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三6.辅助数列法应用6在数列{an}中,a1=1,an+1=an+1,求数列{an}的通项公式.提示:对于an+1=pan+q这一类型的递推关系式,常用配常数法求通项公式.设an+1+k=p(an+k),对比递推关系式,可得k=,构造出等比数列{an+k}.12𝑞𝑝-1解:令an+1+k=12(an+k),因为an+1=12an+1,对比可得k=-2,所以an+1-2=12(an-2).所以{an-2}是首项为a1-2=-1,公比为12的等比数列.所以an-2=-1·12𝑛-1=-12𝑛-1.所以an=-12𝑛-1+2.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题二数列的求和问题我们已经学习了等差数列和等比数列,并熟悉了有关等差数列和等比数列的求和公式,然而有些数列既不是等差数列,也不是等比数列,像这样的数列求和常涉及分类讨论、转化化归等思想方法.在求数列的前n项和Sn时,要掌握以下几种常用的方法:1.并项转化求和法应用1求和:Sn=12-22+32-42+52-62+…+992-1002.提示:根据条件可知,前后两项相互结合,利用公式化简求值得出和.解:由平方差公式,得Sn=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6)+…+(99-100)(99+100)=-[(1+2)+(3+4)+(5+6)+…+(99+100)]=-(1+2+3+4+…+100)=-100×(1+100)2=-5050.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三2.倒序相加法应用2求值:1212+102+2222+92+3232+82+…+102102+12.提示:由于数列的第k项与倒数第k项的和为常数1,故采用倒序相加法求和.解:设S=1212+102+2222+92+3232+82+…+102102+12,又S=102102+12+9292+22+8282+32+…+1212+102,两式相加,得2S=1+1+…+1=10.故S=5.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三3.拆项分组求和法应用3求数列1+1,1𝑎+4,1𝑎2+7,1𝑎3+10,…,1𝑎𝑛-1+(3n-2),…的前n项和.提示:本题通项公式为an=+(3n-2),是由一个指数式和一个一次式的和组成的,可以选择拆项分组求和法.1𝑎𝑛-1解:设数列的通项为an,前n项和为Sn,则an=1𝑎𝑛-1+(3n-2),所以Sn=1+1𝑎+1𝑎2+…+1𝑎𝑛-1+[1+4+7+…+(3n-2)].当a=1时,Sn=n+(1+3𝑛-2)𝑛2=3𝑛2+𝑛2.当a≠1时,Sn=1-1𝑎𝑛1-1𝑎+(1+3𝑛-2)𝑛2=𝑎𝑛-1𝑎𝑛-𝑎𝑛-1+(3𝑛-1)𝑛2.综上,前n项和Sn=3𝑛2+𝑛2,𝑎=1,𝑎𝑛-1𝑎𝑛-𝑎𝑛-1+(3𝑛-1)𝑛2,𝑎≠1.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三4.错位相减法应用4已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列𝑎𝑛2𝑛-1的前n项和.提示:(1)利用定义法列出关于a1与d的方程组即可求出an;(2)利用错位相减法.解:(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知条件,得𝑎1+𝑑=0,2𝑎1+12𝑑=-10,解得𝑎1=1,𝑑=-1.故数列{an}的通项公式为an=2-n.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三(2)设数列𝑎𝑛2𝑛-1的前n项和为Sn,即Sn=a1+𝑎22+…+𝑎𝑛2𝑛-1,所以S1=1,𝑆𝑛2=𝑎12+𝑎24+…+𝑎𝑛2𝑛.两式相减,得𝑆𝑛2=a1+𝑎2-𝑎12+…+𝑎𝑛-𝑎𝑛-12𝑛-1−𝑎𝑛2𝑛=1-12+14+…+12𝑛-1−2-𝑛2𝑛=1-1-12𝑛-1−2-𝑛2𝑛=𝑛2𝑛.所以Sn=𝑛2𝑛-1.综上所述,数列𝑎𝑛2𝑛-1的前n项和Sn=𝑛2𝑛-1.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三5.裂项相消求和法应用5求数列112+2,122+4,132+6,142+8,…的前n项和.提示:先找出数列的通项公式an=1𝑛2+2𝑛,结合其结构形式将1𝑛2+2𝑛化为1𝑛(𝑛+2)即可进行裂项相消求和.解:因为通项an=1𝑛2+2𝑛=121𝑛-1𝑛+2,所以此数列的前n项和Sn=121-13+12-14+13-15+…+1𝑛-1-1𝑛+1+1𝑛-1𝑛+2=121+12−1𝑛+1−1𝑛+2=34−2𝑛+32(𝑛+1)(𝑛+2).知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题三数列与数学思想数学思想方法对认知结构起着重要作用,是重要的基础知识,是知识转化为能力的桥梁.求解数列问题常用的数学思想有函数思想、方程思想、整体思想、分类讨论思想、转化化归思想等.1.函数思想应用1等差数列{an}的首项为a1=14,前n项和为Sn,若S3=S5,则当n=时,Sn最大.提示:本题利用了等差数列前n项和具有的二次函数性质,等差数列前n项和的最值问题经常借助求解二次函数最值的方法来解决.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三解析:因为数列{an}为等差数列,a1=14,S3=S5,所以3a1+3×22d=5a1+5×42d.所以d=-27a1=-4.所以Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2d=14n+𝑛(𝑛-1)2·(-4)=-2n2+16n.注意到函数y=-2x2+16x的对称轴是x=-162×(-2)=4.又因为n∈N+,所以n=4时,Sn最大.答案:4知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三2.方程思想应用2已知在等差数列{an}中,a1+a5=26,