2019版高中数学 第二章 参数方程本章整合课件 新人教B版选修4-4

-1-本章整合知识建构综合应用真题放送知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题一曲线的参数方程与普通方程的互化(1)将直线的参数方程转化为普通方程,需要消去参数t,其一般步骤为:①将参数t用变量x表示;②将t代入y的代数式;③整理得到x,y的关系,即普通方程.(2)参数方程与普通方程的区别与联系.曲线的普通方程F(x,y)=0是相对参数方程而言的,它反映了坐标变量x与y之间的直接联系;而参数是通过参数t反映坐标变量x与y之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数,变数的个数比方程的个数多1;曲线的参数方程中,有三个变数和两个方程,变数的个数比方程的个数多1,从这个意义上讲,曲线的普通方程和参数方程是“一致”的.方程𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡)(𝑡∈D)知识建构综合应用真题放送专题一专题二(3)参数方程与普通方程是同一曲线的两种不同形式.参数方程普通方程,可见普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.知识建构综合应用真题放送专题一专题二应用1求方程4x2+y2=16的参数方程.(1)设y=4sinθ,θ为参数;(2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数.提示:对于(1),可以直接把y=4sinθ代入已知方程,解方程求出x;对于(2),可寻找斜率k与此方程表示的曲线上任一点的坐标之间的关系来求解.解:(1)把y=4sinθ代入方程,得到4x2+16sin2θ=16,于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ.∴x=±2cosθ.由于参数θ的任意性,可取x=2cosθ,因此4x2+y2=16的参数方程是𝑥=2cos𝜃,𝑦=4sin𝜃.知识建构综合应用真题放送专题一专题二(2)设M(x,y)是曲线4x2+y2=16上异于点A的任一点,则𝑦-4𝑥=𝑘(𝑥≠0),将y=kx+4代入方程,得x[(4+k2)x+8k]=0.∴𝑥=-8𝑘4+𝑘2,𝑦=-4𝑘2+164+𝑘2,易知A(0,4)也适合此方程.另有一点𝑥=0,𝑦=-4.∴所求的参数方程为𝑥=-8𝑘4+𝑘2,𝑦=-4𝑘2+164+𝑘2和𝑥=0,𝑦=-4.知识建构综合应用真题放送专题一专题二应用2已知曲线C1:𝑥=cos𝜃,𝑦=sin𝜃(0≤θ≤2π),曲线C2:𝑥=22𝑡-2,𝑦=22𝑡.(1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2交点的个数;(2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线C'1,C'2,写出C'1,C'2的参数方程.C'1与C'2交点的个数和C1与C2交点的个数是否相同?说明你的理由.知识建构综合应用真题放送专题一专题二解:(1)C1是圆,C2是直线.C1的普通方程为x2+y2=1,圆心C1(0,0),半径r=1.C2的普通方程为x-y+2=0.因为圆心C1到直线x-y+2=0的距离为1,所以C2与C1只有一个交点.(2)压缩后的参数方程分别为C'1:𝑥=cos𝜃,𝑦=12sin𝜃,0≤θ≤2π,C'2:𝑥=22𝑡-2,𝑦=24𝑡.知识建构综合应用真题放送专题一专题二化为普通方程C'1:x2+4y2=1,C'2:y=12𝑥+22,联立消元得2x2+22𝑥+1=0,其判别式Δ=(22)2−4×2×1=0,所以压缩后的直线C'2与椭圆C'1仍然只有一个交点,和C1与C2交点的个数相同.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题二曲线参数方程的应用曲线的参数方程通过参数反映坐标变量x,y之间的间接关系,其中的参数一般具有相应的几何意义或物理意义.利用参数来表示曲线的方程时,要充分注意参数的取值范围.常用参数方程研究最值问题、求轨迹方程、证明恒等式等.知识建构综合应用真题放送专题一专题二应用1椭圆𝑥216+𝑦24=1上有𝑃,𝑄两点,𝑂为椭圆中心,𝑂𝑃,𝑂𝑄的斜率分别为𝑘𝑂𝑃,𝑘𝑂𝑄,且𝑘𝑂𝑃·kOQ=−14.(1)求|OP|2+|OQ|2的值;(2)求线段PQ中点的轨迹方程.提示:解决与圆、椭圆、双曲线、抛物线上的点有关的问题时,常将这些点的坐标设成参数形式.这样可以减少变量的个数,简化解题过程.因为二次曲线的参数方程的参数多采用角(抛物线除外),根据三角函数的值域便于解决一些求值问题.知识建构综合应用真题放送专题一专题二解:(1)设P(4cost1,2sint1),Q(4cost2,2sint2).∵kOP·kOQ=−14,∴2sin𝑡14cos𝑡1·2sin𝑡24cos𝑡2=−14.∴cos(t1-t2)=0.∴t1-t2=kπ+π2(𝑘∈Z).∴sin2t1=cos2t2,cos2t1=sin2t2.∴|OP|2+|OQ|2=16cos2t1+4sin2t1+16cos2t2+4sin2t2=20.(2)设PQ的中点为(x,y),则𝑥=2(cos𝑡1+cos𝑡2),𝑦=sin𝑡1+sin𝑡2.∴𝑥24+𝑦2=(cost1+cost2)2+(sint1+sint2)2=2+2cos(t1-t2)=2.∴线段PQ中点的轨迹方程为𝑥28+𝑦22=1.知识建构综合应用真题放送专题一专题二应用2已知圆的方程为x2+y2=12,椭圆的方程为𝑥225+𝑦216=1,过原点的射线交圆于点𝐴,交椭圆于点𝐵.过点𝐴,𝐵分别作𝑥轴和𝑦轴的平行线,求所作的两条直线的交点𝑃的轨迹方程.知识建构综合应用真题放送专题一专题二解:设𝐴22cos𝛼,22sin𝛼,𝐵(5cosθ,4sinθ)(θ为离心角),则所求轨迹的参数方程为𝑥=5cos𝜃,①𝑦=22sin𝛼.②由O,A,B三点共线,从而得双参数θ和α的一个约束条件为tanα=45tanθ,③由①,得tan2θ=25-𝑥2𝑥2.④由②,得tan2α=2𝑦21-2𝑦2.⑤将③式两边平方,得tan2α=1625tan2𝜃.⑥把④⑤代入⑥,化简整理,得轨迹方程为8x2+9x2y2+400y2=200.知识建构综合应用真题放送2341561.(广东高考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为𝑥=𝑡,𝑦=𝑡(𝑡为参数)和𝑥=2cos𝜃,𝑦=2sin𝜃(𝜃为参数),则曲线𝐶1与𝐶2的交点坐标为_________.解析:由C1得y=𝑥,即y2=x(y≥0).①由C2得x2+y2=2.②由①②联立𝑦2=𝑥,𝑥2+𝑦2=2,得𝑥=1,𝑦=1.答案:(1,1)知识建构综合应用真题放送2341562.(江西高考)设曲线C的参数方程为𝑥=𝑡,𝑦=𝑡2(𝑡为参数),若以直角坐标系的原点为极点,𝑥轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线𝐶的极坐标方程为________.解析:由参数方程𝑥=𝑡,𝑦=𝑡2得曲线在直角坐标系下的方程为y=x2.由公式𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃得曲线C的极坐标方程为ρcos2θ-sinθ=0.答案:ρcos2θ-sinθ=0知识建构综合应用真题放送3.(天津高考)已知抛物线的参数方程为𝑥=2𝑝𝑡2,𝑦=2𝑝𝑡(𝑡为参数),其中𝑝0,焦点为𝐹,准线为𝑙.过抛物线上一点𝑀作𝑙的垂线,垂足为𝐸.若|𝐸𝐹|=|𝑀𝐹|,点𝑀的横坐标是3,则𝑝=_______.234156解析:由参数方程𝑥=2𝑝𝑡2,𝑦=2𝑝𝑡(𝑡为参数),p0,可得曲线方程为y2=2px(p0).∵|EF|=|MF|,且|MF|=|ME|(抛物线的定义),∴△MEF为等边三角形.∵E的横坐标为−𝑝2,𝑀的横坐标为3,∴EM中点的横坐标为3-𝑝22,它与F的横坐标𝑝2相同,∴3-𝑝22=𝑝2,∴𝑝=2.答案:2知识建构综合应用真题放送4.(湖南高考)在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:𝑥=𝑡+1,𝑦=1-2𝑡(𝑡为参数)与曲线𝐶2:𝑥=𝑎sin𝜃,𝑦=3cos𝜃(𝜃为参数,𝑎0)有一个公共点在𝑥轴上,则𝑎=___________.234156解析:∵C1:𝑥=𝑡+1,𝑦=1-2𝑡,∴𝐶1的方程为2x+y-3=0.∵C2:𝑥=𝑎sin𝜃,𝑦=3cos𝜃,∴𝐶2的方程为𝑥2𝑎2+𝑦29=1.∵C1与C2有一个公共点在x轴上,且a0,∴C1与x轴的交点32,0在C2上,代入解得a=32.答案:32知识建构综合应用真题放送2341565.(课标全国高考Ⅰ)已知曲线C1的参数方程为𝑥=4+5cos𝑡,𝑦=5+5sin𝑡(𝑡为参数),以坐标原点为极点,𝑥轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线𝐶2的极坐标方程为𝜌=2sin𝜃.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ2π).知识建构综合应用真题放送解:(1)将𝑥=4+5cos𝑡,𝑦=5+5sin𝑡消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由𝑥2+𝑦2-8𝑥-10𝑦+16=0,𝑥2+𝑦2-2𝑦=0解得𝑥=1,𝑦=1或𝑥=0,𝑦=2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2,π4,2,π2.234156知识建构综合应用真题放送2341566.(辽宁高考)在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4.(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.(1)解:圆C1的极坐标方程为ρ=2,圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ.注:极坐标系下点的表示不唯一.解𝜌=2,𝜌=4cos𝜃得ρ=2,θ=±π3,故圆C1与圆C2交点的坐标为2,π3,2,-π3.知识建构综合应用真题放送234156(2)解法一由𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1,3),(1,−3).故圆C1与C2的公共弦的参数方程为𝑥=1,𝑦=𝑡,−3≤t≤3.或参数方程写成𝑥=1,𝑦=𝑦,-3≤𝑦≤3解法二将x=1代入𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃得ρcosθ=1,从而ρ=1cos𝜃.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为𝑥=1,𝑦=tan𝜃,−π3≤θ≤π3.知识建构综合应用真题放送