2019版高中数学 第二章 参数方程 2.4 一些常见曲线的参数方程课件 新人教B版选修4-4

-1-2.4一些常见曲线的参数方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.借助教具或计算机软件,了解摆线和渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.2.通过阅读材料,了解其他摆线(变幅摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程;了解摆线在实际应用中的实例.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1231.摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一圆周沿一直线作无滑动滚动时,圆周上的一定点的轨迹,圆的摆线也称为旋轮线.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1232.渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上,把绳拉紧逐渐展开,绳的外端点随之移动,且绳的拉直部分始终和圆相切.绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线,固定的圆称为渐开线的基圆.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做1】关于渐开线和摆线的叙述正确的是()A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不同解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线和摆线的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系,画出的渐开线形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1233.圆的渐开线和摆线的参数方程名师点拨圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程,普通方程既烦琐又没有实际意义.(1)摆线的参数方程:𝑥=𝑎(𝑡-sin𝑡),𝑦=𝑎(1-cos𝑡).(2)圆的渐开线的参数方程:𝑥=𝑎(cos𝑡+𝑡sin𝑡),𝑦=𝑎(sin𝑡-𝑡cos𝑡).【做一做2-1】半径为4的圆的渐开线的参数方程是.答案:𝑥=4(cos𝑡+𝑡sin𝑡),𝑦=4(sin𝑡-𝑡cos𝑡)ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做2-2】求摆线𝑥=2(𝑡-sin𝑡),𝑦=2(1-cos𝑡)(0≤t≤2π)与直线y=2的交点的直角坐标.解:当y=2时,2=2(1-cost),∴cost=0.∵0≤t≤2π,∴t=π2或3π2.∴x1=2π2-sinπ2=𝜋−2,x2=23π2-sin3π2=3π+2.∴交点坐标为(π-2,2),(3π+2,2).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.圆的渐开线和摆线的参数方程中,参数t的几何意义剖析根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母a是指基圆的半径,而参数t是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度,如图,其中的∠AOB即是角t.显然点M由参数t唯一确定.我们在解决有关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单.同样,根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知其中的字母a是指定圆的半径,参数t是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度.参数的几何意义可以在解决问题中加以引用,简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情况.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.圆的渐开线和摆线的参数方程不宜化为普通方程剖析用参数方程描述运动规律,常常比用普通方程更直接、简便.有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线),建立它们的普通方程比较困难,甚至不可能,列出的方程既复杂又不易理解,从普通方程看不出曲线的坐标所满足条件的含义.如圆的渐开线的普通方程,可以根据其参数得普通方程,但根据方程画出曲线十分费时.而利用参数方程把两个变量x,y间接地联系起来,常常比较容易,方程简单明确,且画图也不太困难.而对于参数方程,我们可以根据参数的取值求出坐标的关系,相比之下比普通方程更为直观.所以,在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程,而不去讨论其普通方程.方程𝑥=𝑎(cos𝑡+𝑡sin𝑡),𝑦=𝑎(sin𝑡-𝑡cos𝑡)消去参数t,ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一圆的摆线的参数方程【例1】已知一个圆的摆线过定点(2,0),请写出该圆的半径最大时摆线的参数方程.分析根据圆的摆线的参数(2,0)代入参数方程求出a的表达式,根据表达式求出a的最大值,再确定对应的摆线的参数方程即可.方程𝑥=𝑎(𝑡-sin𝑡),𝑦=𝑎(1-cos𝑡),只需把点ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:令y=0,可得a(1-cost)=0.因为a0,即cost=1,所以t=2kπ(k∈Z).代入x=a(t-sint),得x=a(2kπ-sin2kπ)(k∈Z).又因为x=2,所以a(2kπ-sin2kπ)=2,即得a=1𝑘π(𝑘∈Z,且k≠0).又由实际可知a0,所以a=1𝑘π(𝑘∈N+).易知,当k=1时,a取最大值为1π.这时圆的摆线的参数方程为𝑥=1π(𝑡-sin𝑡),𝑦=1π(1-cos𝑡).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二圆的渐开线的参数方程【例2】已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A,B对应的参数分别分析先写出圆的渐开线的标准参数方程,再把A,B对应的参数代入标准参数方程可得对应的A,B两点的坐标,再使用两点之间的距离公式可得A,B之间的距离.是π3和π2,求𝐴,𝐵两点间的距离.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:根据条件可知圆的半径是1,所以对应的渐开线标准参数方程是𝑥=cos𝑡+𝑡sin𝑡,𝑦=sin𝑡-𝑡cos𝑡,分别把t=π3和t=π2代入,可得A,B两点的坐标分别为𝐴3+3π6,33-π6,𝐵π2,1.根据两点之间的距离公式,可得A,B两点之间的距离为|AB|=3+3π6-π22+33-π6-12=16(13-63)π2-6π-363+72.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型三易错辨析【例3】已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该圆的摆线的参数方程.错解令a(1-cost)=0,可得cost=1,所以t=0,代入x=a(t-sint)可得x=0.故此题无解.错因分析在求得cost=1时,直接得出t=0,导致答案错误.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三正解令a(1-cost)=0,可得cost=1,所以t=2kπ(k∈Z),代入可得x=a(t-sint)=a(2kπ-sin2kπ)=1(k∈Z).所以a=12𝑘π(𝑘∈Z,且k≠0).根据实际情况可知a是圆的半径,故a0.所以应有k0,且k∈Z,即k∈N+.所以所求摆线的参数方程是𝑥=12𝑘π(𝑡-sin𝑡),𝑦=12𝑘π(1-cos𝑡),其中k∈N+.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123451.如果的摆线上一点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是()A.πB.3πC.6πD.10π解析:根据已知条件可知圆的摆线的参数方程把y=0代入,得cost=1,所以t=2kπ(k∈Z).而x=3t-3sint=6kπ(k∈Z).答案:C圆𝑥=3cos𝜃,𝑦=3sin𝜃(0≤θ≤2π)为𝑥=3𝑡-3sin𝑡,𝑦=3-3cos𝑡,ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123452.给出下列说法:①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③在求圆的摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同,可能会得到不同的参数方程;④圆的渐开线和x轴一定有交点,而且是唯一的交点.其中正确的说法有()A.①③B.②④C.②③D.①③④解析:对于一个圆,只要半径确定,渐开线和摆线的形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所区别,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置.答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123453.已知圆的渐开线的参数方程是𝑥=cos𝑡+𝑡sin𝑡,𝑦=sin𝑡-𝑡cos𝑡,则此渐开线对应的基圆的直径是___________,当参数𝑡=π4时对应的曲线上的点的坐标为__________.解析:圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为1,故直径为2.把t=π4代入曲线的参数方程,得x=22+2π8,𝑦=22−2π8,由此可得对应的点的坐标为22+2π8,22-2π8答案:222+2π8,22-2π8ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123454.渐开线𝑥=6(cos𝑡+𝑡sin𝑡),𝑦=6(sin𝑡-𝑡cos𝑡)的基圆的圆心在原点,把基圆上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的焦点坐标为_________.解析:根据圆的渐开线方程,可知基圆的半径r=6,其方程为x2+y2=36,把基圆上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐