2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.5 增长速度的比较课件

-1-4.5增长速度的比较课标阐释思维脉络1.理解函数平均变化率的概念.2.会求函数在给定区间上的平均变化率.3.掌握函数的平均变化率与单调性的关系.课前篇自主预习一二一、平均变化率1.试求出y=3x+4在[3,5]上的平均变化率.提示:平均变化率为y的改变量与x的改变量之比.2.填空.(1)函数值的改变量与自变量的改变量的比称为平均变化率.(2)函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)或[x2,x1](x1x2时)上的平均变化率为.(3)平均变化率也可理解为:自变量每增加1个单位,函数值平均将增加个单位,因此,可用平均变化率来比较函数值变化的快慢.3.做一做:函数y=4x的平均变化率为a1,函数y=x-3的平均变化率为a2,则a1,a2的大小关系是()A.a1a2B.a1a2C.a1=a2D.无法确定答案:AΔ𝑓Δ𝑥=𝑓(𝑥2)-𝑓(𝑥1)𝑥2-𝑥1𝛥𝑓𝛥𝑥课前篇自主预习一二二、求平均变化率的步骤1.求y=5x+1在[2,3]上的平均变化率可分成几步?提示:①Δx=3-2;②Δy=5×3+1-(5×2+1);③=5.2.填空.平均变化率的求解步骤:(1)确定区间[x1,x2](x2x1);(2)求出Δx=x2-x1;(3)求出Δf=f(x2)-f(x1);3.做一做:y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均变化率是()A.2B.2xC.2+ΔxD.2+(Δx)2答案:C𝛥𝑦𝛥𝑥(4)求出平均变化率Δ𝑓Δ𝑥=𝑓(𝑥2)-𝑓(𝑥1)𝑥2-𝑥1.解析:依题意,所求平均变化率为(1+Δ𝑥)2-12Δ𝑥=2+Δx.故选C.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测函数平均变化率的求解例1函数f(x)=x2++4在区间[1,2]上的平均变化率为.分析:根据平均变化率的定义列式求解.1𝑥答案:52解析:f(x)在[1,2]上的平均变化率为𝑓(2)-𝑓(1)2-1=22+12+4-(12+1+4)2-1=52.反思感悟平均变化率的求法:根据定义Δ𝑓Δ𝑥=𝑓(𝑥2)-𝑓(𝑥1)𝑥2-𝑥1,求出Δx=x2-x1,Δf=f(x2)-f(x1),进而求出Δ𝑓Δ𝑥.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测变式训练函数y=f(x)=-2x2+5在区间[2,2+Δx]内的平均变化率为.答案:-8-2Δx解析:Δy=f(2+Δx)-f(2)=-2(2+Δx)2+5-(-2×22+5)=-8Δx-2(Δx)2,所以=-8-2Δx,即平均变化率为-8-2Δx.𝛥𝑦𝛥𝑥课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测平均变化率的大小比较例2已知函数y1=3x+1,y2=log4x-1,分别计算两个函数在[a,a+1](a1)上的平均变化率,并比较它们的大小.解:y1=3x+1的平均变化率为Δ𝑦Δ𝑥=3𝑎+1+1-3𝑎-1(𝑎+1)-𝑎=2×3a,y2=log4x-1的平均变化率为Δ𝑦Δ𝑥=log4(𝑎+1)-1-log4𝑎+1(𝑎+1)-𝑎=log41+1𝑎.因为a1,所以2×3a6,log41+1𝑎log44=1,所以在区间[a,a+1](a1)上y1=3x+1的平均变化率大于y=log4x-1的平均变化率.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测延伸探究求y=3x+1在[a,a+1]与[a+1,a+2]上的平均变化率,并比较它们的大小.解:在[a,a+1]上,Δ𝑦Δ𝑥=3𝑎+1+1-3𝑎-1(𝑎+1)-𝑎=2×3a,在[a+1,a+2]上,Δ𝑦Δ𝑥=3𝑎+2+1-3𝑎+1-1(𝑎+2)-𝑎-1=2×3a+1=6×3a.因为6×3𝑎2×3𝑎=31,所以y=3x+1在[a+1,a+2]上平均变化率大于在[a,a+1]上的平均变化率.思考(1)随左端点变化,y=3x+1的平均变化率怎样变化?(2)我们可以怎样定义这样的函数?提示:(1)左端点越大,y=3x+1的平均变化率越大.(2)我们将y=3x+1这样的函数称为爆炸型函数.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测平均变化率大小比较的常用方法典例(1)求y=2x在[1,1+Δx]与[2,2+Δx]上的平均变化率,并比较大小.(2)求y=x2-2在[1,1+Δx]和[2,2+Δx]上的平均变化率,并比较大小.(3)求y=3x与y=log2x在[a,a+1](a1)上的平均变化率,并比较大小.解:(1)在[1,1+Δx]上,Δ𝑦Δ𝑥=21+Δ𝑥-2Δ𝑥,在[2,2+Δx]上,Δ𝑦Δ𝑥=22+Δ𝑥-4Δ𝑥,因为22+Δ𝑥-4Δ𝑥21+Δ𝑥-2Δ𝑥=21,所以y=2x在[2,2+Δx]上的平均变化率大于在[1,1+Δx]上的平均变化率.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测(2)在[1,1+Δx]上,Δ𝑦Δ𝑥=(1+Δ𝑥)2-2-1+2Δ𝑥=2+Δx,在[2,2+Δx]上,Δ𝑦Δ𝑥=(2+Δ𝑥)2-2-4+2Δ𝑥=4+Δx.因为4+Δx-2-Δx=20,所以y=x2-2在[2,2+Δx]上的平均变化率大于在[1,1+Δx]上的平均变化率.(3)对于y=3x,Δ𝑦Δ𝑥=3𝑎+1-3𝑎(𝑎+1)-𝑎=2×3a6,对于y=log2x,Δ𝑦Δ𝑥=log2(𝑎+1)-log2𝑎(𝑎+1)-𝑎=log2𝑎+1𝑎=log21+1𝑎log21+11=1.所以y=log2x在[a,a+1]上的平均变化率小于y=3x在[a,a+1]上的平均变化率.方法点睛平均变化率大小比较常用方法(1)做商;(2)做差;(3)用临界值.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测1.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于()A.-1B.1C.-2D.2答案:A解析:由图易知f(1)=3,f(3)=1,因此𝑓(3)-𝑓(1)3-1=-1.故选A.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测2.函数f(x)=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1,k2的大小关系为()A.k1k2B.k1k2C.k1=k2D.无法确定答案:D解析:k1=𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)𝑥0+Δ𝑥-𝑥0=2x0+Δx,k2=𝑓(𝑥0)-𝑓(𝑥0-Δ𝑥)𝑥0-(𝑥0-Δ𝑥)=2x0-Δx.因为Δx可正可负且不为零,所以k1,k2的大小关系不确定.故选D.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测3.函数f(x)=x,g(x)=x2在[0,1]上的平均变化率分别为m1,m2,则下列结论正确的是()A.m1=m2B.m1m2C.m2m1D.m1,m2的大小无法确定答案:A解析:因为m1=1,m2=1-01-0=1,所以m1=m2.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测4.已知函数f(x)=-x2+x,则f(x)从-1到-0.9的平均变化率为.答案:2.9解析:因为f(-1)=-(-1)2+(-1)=-2,5.函数f(x)=x2在区间[1,1.1]上的平均变化率是.答案:2.1解析:f(1)=1,f(1.1)=1.21,该函数在区间[1,1.1]上的平均变化率为f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71,所以平均变化率为𝑓(-0.9)-𝑓(-1)-0.9-(-1)=-1.71-(-2)0.1=2.9.1.21-11.1-1=2.1.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析当堂检测6.已知函数f(x)=-x2+x在[2,2+Δx](Δx0)上的平均变化率不大于-1,求Δx的范围.解:f(x)在[2,2+Δx]上的平均变化率为Δ𝑦Δ𝑥=𝑓(2+Δ𝑥)-𝑓(2)Δ𝑥=-(2+Δ𝑥)2+(2+Δ𝑥)-(-4+2)Δ𝑥=-3-Δx.所以由-3-Δx≤-1可得Δx≥-2.又因为Δx0,所以Δx0,即Δx∈(0,+∞).课堂篇探究学习